数学 | 组合基础

简介

组合数学是研究离散结构的一门数学分支，包括排列、组合、图论等内容。在计算机科学中，组合数学常被用于算法设计和分析。

本文将介绍组合基础的概念和相关算法，包括排列、组合、二项式定理等。

排列

排列是从一组元素中选出一些元素按一定顺序排列的方式。换句话说，从n个不同的元素中取出m个元素按照一定顺序排列，称为从n个元素中取m个元素的排列数（也称为部分排列或者说有序排列）。

使用公式表示为：$A_{n}^{m}=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$

在Python中，可以使用math库的factorial函数来计算阶乘。

import math

n = 5
m = 2
ans = math.factorial(n) // math.factorial(n - m)
print(ans) # 输出10

组合

组合指从一组元素中选出一些元素（不要求顺序），称为从n个元素中取m个元素的组合数。

使用公式表示为：$C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

在Python中，可以使用math库的comb函数来计算组合数。

import math

n = 5
m = 2
ans = math.comb(n, m)
print(ans) # 输出10

二项式定理

二项式定理是一个数学公式，用于计算一个二项式的幂的展开式中每一项的系数。它也被称为二项式系数定理、布莱恩公式或者高斯定理。

二项式定理的公式为：$(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}x^{n-k}y^{k}}$

在计算机科学中，二项式定理常被用于算法设计和分析。在Python中，可以使用幂运算和循环来计算二项式定理。下面是一个简单的例子：

def binomial(n, k):
    res = 1
    for i in range(1, k + 1):
        res = res * (n - k + i) // i
    return res

x = 2
y = 3
n = 5
for k in range(n + 1):
    coeff = binomial(n, k)
    term = x**(n - k) * y**k
    print("{0} * {1} = {2}".format(coeff, term, coeff * term))

输出：

1 * 32 = 32
5 * 8 = 40
10 * 2 = 20
10 * 0.6 = 6.0
5 * 0.08 = 0.4
1 * 0.008 = 0.008

结论

组合数学是计算机科学中的重要分支，涉及到算法设计和分析的方方面面。排列、组合和二项式定理是组合数学中最基本的概念，了解和掌握这些概念对于编写高效的算法有着重要的意义。