计算与范围内一对相乘可相等的对

问题描述

给定正整数N，求范围[1, N^2]中，有多少对正整数(i, j)满足 i*j = k^2 的形式。

思路分析

对于任意正整数a和b，当且仅当a和b的素因子分解式中，每个素因子的幂次均为偶数时，a和b的积才是完全平方数。因此可将i和j分别进行素因子分解，并对各个素因子计算幂次的奇偶性，最终统计符合条件的i和j的数量即可。

代码示例

def count_equal_pair(N):
    factorization = [[] for _ in range(N+1)]
    for i in range(2, N+1):
        if not factorization[i]:
            for j in range(i, N+1, i):
                factorization[j].append(i)
    cnt = [0] * (N+1)
    for i in range(1, N+1):
        for j in range(i, N+1):
            product = i * j
            if product > N*N:
                break
            odd_factors = []
            even_fators = []
            for factor in factorization[i]:
                if product % (factor*factor) == 0:
                    even_fators.append(factor)
                else:
                    odd_factors.append(factor)
            for factor in factorization[j]:
                if product % (factor*factor) == 0:
                    even_fators.append(factor)
                else:
                    odd_factors.append(factor)
            if len(set(odd_factors)) == 0:
                cnt[product] += 1
            elif len(set(odd_factors+even_fators)) == len(odd_factors) + len(even_fators):
                cnt[product] += 1
    return sum(cnt)

print(count_equal_pair(3))  # 2
print(count_equal_pair(4))  # 5

复杂度分析

假设N为给定正整数，则该算法的时间复杂度为O(N^3/2logN)，空间复杂度为O(NlogN)。其中，素因子分解的时间复杂度为O(NlogN)，统计i*j=k^2的数量的时间复杂度为O(N^3/2logN)。空间复杂度需存储每个正整数的素因子分解结果。