最大分区问题

题目描述

给定一个长度为 $n$ 的整数数组 $nums$ 和一个整数 $k$，请你将 $nums$ 划分为若干个长度最多为 $k$ 的子序列，并使每个子序列内奇偶元素的数量相等（不需要考虑顺序）。

注意：划分需要满足每个子序列内奇偶元素的数量相等，但并不要求所有子序列的奇偶元素数量相等。

你可以按任意顺序返回划分方案，但不能保证顺序相同的两个答案具有相同的顺序。

如果无法完成分区，则返回一个空的数组。

示例

输入：$nums = [1,2,3,4], k = 3$

输出：$[[1,2],[3,4]]$

解释：可以将 nums 划分为 $[1,2]$、$[3,4]$，两个子序列内奇偶元素的个数均为 $1$。

输入：$nums = [1,2,3,4,5,6], k = 4$

输出：$[[1,2,5,6],[3,4]]$

解释：可以将 nums 划分为 $[1,2,5,6]$、$[3,4]$，第一个子序列内奇偶元素的个数均为 $2$，第二个子序列内奇偶元素的个数均为 $1$。

输入：$nums = [1,2,3,4], k = 2$

输出：$[]$

解释：无法完成分区，因为每个子序列内至少需要 $2$ 个元素，但元素总数为 $4$，无法划分为满足要求的子序列。

解题思路

这是一道找规律的题目。

首先需要注意的是，满足每个子序列内奇偶元素的数量相等不等于每个子序列的奇偶元素数量相等。

因为题目要求划分成的子序列长度最多为 $k$，所以我们就可以考虑在满足每个子序列内奇偶元素的数量相等的情况下，让每个子序列尽可能地长。

具体做法是：

1. 统计数组中奇数和偶数的个数，如果个数不相等，则无法完成分区，返回空数组。

2. 将奇数和偶数分别存入两个长度为 $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ 的数组 $odd$ 和 $even$ 中。

3. 定义两个指针 $p$ 和 $q$，分别指向数组 $odd$ 和 $even$ 的开头。

4. 构造一个数组 $result$ 表示划分方案，初始为空。

5. 循环处理数组 $nums$ 中的每个元素 $x$：

   • 如果 $x$ 是奇数且 $odd[p]$ 不为空，则将 $x$ 加入 $result$ 的最后一个子序列中，同时将 $x$ 和 $odd[p]$ 从 $odd$ 数组中删除，$p$ 指针向后移一位；

   • 否则如果 $x$ 是偶数且 $even[q]$ 不为空，则将 $x$ 加入 $result$ 的最后一个子序列中，同时将 $x$ 和 $even[q]$ 从 $even$ 数组中删除，$q$ 指针向后移一位；

   • 否则如果 $x$ 不是偶数也不是奇数，则无法完成分区，返回空数组。

6. 如果 $odd$ 和 $even$ 数组中还有元素，说明无法完成分区，返回空数组；否则返回 $result$ 数组。

代码实现

from typing import List

def max_partition(nums: List[int], k: int) -> List[List[int]]:
    n = len(nums)
    odd = []
    even = []
    for num in nums:
        if num % 2 == 0:
            even.append(num)
        else:
            odd.append(num)
    if len(odd) != len(even):
        return []
    odd_len = len(odd)
    even_len = len(even)
    if odd_len > even_len:
        odd, even = even, odd
        odd_len, even_len = even_len, odd_len
    p = q = 0
    result = []
    for num in nums:
        if num % 2 == 1 and p < odd_len:
            if not result or len(result[-1]) == k:
                result.append([])
            result[-1].extend([num, odd[p]])
            p += 1
        elif num % 2 == 0 and q < even_len:
            if not result or len(result[-1]) == k:
                result.append([])
            result[-1].extend([num, even[q]])
            q += 1
        else:
            return []
    if p < odd_len or q < even_len:
        return []
    return result

代码中的主要难点在于构造划分方案，即如何让每个子序列尽可能地长。我们采用的是贪心的思想，在遍历数组 $nums$ 的过程中按顺序处理每个元素，如果该元素是奇数则从 $odd$ 数组中取出一个数加入子序列，如果该元素是偶数则从 $even$ 数组中取出一个数加入子序列，然后指针向后移动。这样处理的结果就是在满足分区条件的情况下每个子序列的长度都尽可能大。