多米诺骨牌平铺

多米诺骨牌平铺是一种经典的逻辑问题，它的目标是将一堆骨牌按特定规则平铺到一个矩形棋盘上，使得每个骨牌的两端都与另一张骨牌的一端相邻。这个问题可以被视为一个复杂的组合问题，然而，它也可以被用来展示递归与分治算法的强大。

递归解法

递归是解决多米诺骨牌平铺问题的一种非常有效的方式。想象一下，在一个 $4 \times 4$ 的矩形棋盘上放置骨牌，我们可以看作是将这个棋盘分成两个 $2 \times 4$ 的子棋盘，并在每个子棋盘上放置骨牌。接下来，我们可以将其中一个子棋盘继续分成两个 $2 \times 2$ 的棋盘，在每个子棋盘上放置骨牌。对于剩下的子棋盘，我们可以迭代这个过程，直到所有的骨牌都被放置到棋盘上。

以下是一个递归解法的样例代码：

def dominos(n, m, board):
    if n == 1 and m == 1:
        board[0][0] = 'X'
        return True
    elif n == 1 and m % 2 == 1:
        for i in range(m):
            board[n-1][i] = 'X'
            return True
    elif n % 2 == 1 and m == 1:
        for i in range(n):
            board[i][m-1] = 'X'
            return True
    elif (n % 2 == 0 and m % 2 == 0) or (n % 2 == 1 and m % 2 == 1):
        # 分割成子棋盘并递归
        half_n = n // 2
        half_m = m // 2
        dominos(half_n, half_m, board[:half_n][:half_m])
        dominos(half_n, half_m, board[half_n:][:half_m])
        dominos(half_n, half_m, board[:half_n][half_m:])
        dominos(half_n, half_m, board[half_n:][half_m:])
        return True
    else:
        return False

在这个代码中，我们首先考虑了一些特殊情况，比如棋盘的大小为 $1 \times 1$，$1 \times 2$，$2 \times 1$，$2 \times 2$。接下来，我们将棋盘分割成四个子棋盘，然后在每个子棋盘上递归调用 dominos 函数。注意，在每个子棋盘上我们都使用了切片来访问矩阵的子区域。

时间复杂度

递归解法的时间复杂度可以被写成 $T(n,m) = 4T(n/2,m/2) + O(nm)$，其中 $O(nm)$ 表示分割棋盘需要的时间。通过展开这个递归式，我们可以看到时间复杂度是 $O(n^{\log_2 4}) = O(n^2)$。

总结

多米诺骨牌平铺是一个非常有趣的问题，并且展示了解决组合问题的递归与分治算法的强大。无论是你是编程新手还是资深程序员，学习多米诺骨牌平铺的思想都会让你受益匪浅。