平铺问题

平铺问题（Tiling Problem）是指将一个区域精确地覆盖上完全一样或相似的多个小区域。在计算机科学中，平铺问题也被广泛地应用于图形学、计算几何学、自动机器人运动规划、人工智能等领域。

分类

平铺问题可以分为两大类：装配问题和覆盖问题。

装配问题

装配问题（Assembly Problem）目标是将同种或不同种的小区域组装成一个更大的区域。该问题通常在半导体芯片、拼图等制造领域中得到广泛应用。

覆盖问题

覆盖问题（Covering Problem）目标是用尽可能少的小块完全覆盖一个更大的区域。该问题通常在棋盘问题、计算几何学等领域中得到广泛应用。

解题方法

解决平铺问题的方法非常多，其中比较常用的包括：

• 穷举搜索：生成所有可能的方案，找到符合条件的最优解；

• 分治策略：将大问题分解成若干个小问题，逐个解决小问题，最后合并解决结果；

• 粒子群算法：将问题看成粒子在搜索空间中寻找适应度较好的位置，使用随机数等方法来模拟粒子行为；

• 模拟退火算法：从一个初始解开始，通过一定的“温度”参数控制解的变量，使解按照一定规则在解空间中寻找最优解。

实现例子

以下是一个简单的覆盖问题程序实现例子。

def tile(grid, tile):
    """
    在网格grid中找出最小的区域，使其完全被小区块tile覆盖。
    """
    for i in range(len(grid) - len(tile) + 1):
        for j in range(len(grid[0]) - len(tile[0]) + 1):
            if check(grid, tile, i, j):
                return (i, j)
    return None

def check(grid, tile, x, y):
    """
    检查tile是否能够覆盖网格grid中以(x, y)为左上角顶点的区域。
    """
    for i in range(len(tile)):
        for j in range(len(tile[0])):
            if tile[i][j] == '#' and grid[x+i][y+j] != '.':
                return False
    return True

此代码片段演示了如何在矩形网格（用格点标志）上，找到一个区域，使得其能够被一个 $m\times n$ 的矩形覆盖。程序先在网格中枚举每个可能的起点，检查是否能够被覆盖，如果是，则返回区域左上角的坐标。

参考资料

• Tiling Problem
• Tiling and packing