Domino 和 Tromino 平铺问题

简介

在计算机科学中，Domino 和 Tromino 平铺问题涉及在一个由正方形组成的棋盘上铺平L型牌板和T型牌板的问题。在这个问题中，L型牌板和T型牌板被称为dominoes和trominoes。

Dominoes是形如下图的2×1的矩形，可以水平或垂直摆放。

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Trominoes是形如下图的L型三格形状，可以旋转。

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问题是：对于给定大小的棋盘，是否存在一种方法，即用dominoes和trominoes将整个棋盘铺平，使得每个空格都被且只能被覆盖一次？

这个问题有很多变体，但通常要求用最少的牌板来铺满整个棋盘。

解决方法

Domino 和 Tromino 平铺问题可以使用回溯法解决。回溯法是一种暴力搜索的算法，它尝试找到所有可能的解决方案，并在找到一个有效的解决方案时返回结果。

在Domino 和 Tromino 平铺问题中，回溯法算法的基本思路是：从左上角开始，逐个方格地尝试摆放dominoes和trominoes。对于每个空格，我们先尝试放置dominoes，如果不能铺平，再尝试trominoes。如果所有牌板都无法放置，则回溯到上一个空格，并尝试其他牌板。如果在某个时刻，无法找到可放置的牌板，则返回解决方案失败。

以下是Domino 和 Tromino 平铺问题的代码实现：

def solve(board_size):
    board = [[0 for _ in range(board_size)] for _ in range(board_size)]
    count = [0]
    dominoes = [(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)]
    trominoes = [(0,0),(1,0),(2,0),(1,1)]
    backtrack(board, board_size, 0, 0, count, dominoes, trominoes)
    return board if count[0] != 0 else None

def backtrack(board, board_size, row, col, count, dominoes, trominoes):
    if count[0] != 0:
        return
    if row == board_size:
        count[0] = 1
        return
    if col == board_size:
        backtrack(board, board_size, row+1, 0, count, dominoes, trominoes)
        return
    for p in dominoes:
        if can_place(board, board_size, row, col, p, dominoes):
            place(board, row, col, p, dominoes)
            backtrack(board, board_size, row, col+2, count, dominoes, trominoes)
            remove(board, row, col, p)
    for p in trominoes:
        if can_place(board, board_size, row, col, p, trominoes):
            place(board, row, col, p, trominoes)
            backtrack(board, board_size, row, col+1, count, dominoes, trominoes)
            remove(board, row, col, p)

def can_place(board, board_size, row, col, pattern, shapes):
    for p in pattern:
        x, y = row+p[0], col+p[1]
        if x < 0 or x >= board_size or y < 0 or y >= board_size:
            return False
        if board[x][y] != 0:
            return False
    return True

def place(board, row, col, pattern, shapes):
    for p in pattern:
        x, y = row+p[0], col+p[1]
        board[x][y] = shapes.index(pattern) + 1

def remove(board, row, col, pattern):
    for p in pattern:
        x, y = row+p[0], col+p[1]
        board[x][y] = 0

该算法使用二维列表board存储棋盘状态。count列表用于记录解决方案的数量，如果存在解，则count[0]不等于0，否则为0。

dominoes和trominoes分别表示要放置的牌板。can_place函数用于判断当前位置是否可以放置某个牌板。place函数用于在棋盘上放置牌板。remove函数用于从棋盘上移除牌板。

回溯法的优化策略，主要是在 can_place函数中进行。可以进行一些算法优化，如增加记忆化等。因为回溯法会涉及到很多的重复计算步骤，很容易引起算法时间上的爆炸。

结论

Domino 和 Tromino 平铺问题在计算机科学中是一个经典问题，它有很多变体，并且可以用不同的算法来解决。回溯法是其中一种有效的算法，它通过暴力搜索的方式找到所有可能的解决方法。但是在实际问题中，会存在很多的约束条件和复杂性，因此需要进行一些算法优化和灵活处理才能得到较为合适的结果。