寻找游戏的获胜者

在这个题目中，我们需要找到在给定的N个桩中，索引最少的非空桩中删除任意数量的石头的游戏的获胜者。这个题目可以使用数学公式和递归算法来解决。

数学公式

我们假设对于所有的桩，每个桩都有n个石头，然后我们考虑一个桩i，如果它被除去p个石头，然后我们需要用b(i, p)来表示这种情况的败率。那么当桩i剩余q个石头时的败率为：

$b(i, q) = \frac{\sum\limits_{p=1}^{q} b(i, q-p)}{q}$

然后我们考虑每个桩的总败率S(i)=(桩i的败率)+(所有桩剩余的总失败率)，此时我们需要求出每个桩i删除p个石头后的败率b(i, p)。我们可以使用递归的思想，令dp[i][j]表示当前是第i个桩，还剩j个石头的总败率，那么：

$S(i)=\sum\limits_{j=1}^{n_i}(\frac{\sum\limits_{p=1}^{min(j,k)} b(i,p) dp[i][j-p]}{j})$

这样就可以求得每个桩的败率，然后我们需要找到那个桩是最优的，也就是说我们需要找到这样一个桩i：

$S(i)=\min({S(j)|n_i\geq n_j})$

递归算法

根据上面的数学公式，我们可以得到一个递归的算法。下面是一个Python的实现：

def win_game(stones, k):
    n = len(stones)
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    S = [-1] * n
    # 递归计算每个桩的败率
    def get_loss_rate(i, p):
        if dp[i][p]:
            return dp[i][p]
        if p >= stones[i]:
            dp[i][p] = 1.0
        else:
            loss_rate = sum(get_loss_rate(i, p + j) for j in range(1, k + 1)) / k
            dp[i][p] = loss_rate
        return dp[i][p]
    # 计算每个桩的败率并归为总败率
    for i in range(n):
        total_loss_rate = 0
        for j in range(1, stones[i] + 1):
            b = get_loss_rate(i, j)
            total_loss_rate += b * dp[i][stones[i] - j]
        S[i] = total_loss_rate
    # 找到最优桩
    ans = 0
    for i in range(1, n):
        if stones[i] >= stones[ans] and S[i] < S[ans]:
            ans = i
    return ans + 1

这个算法的时间复杂度为O(nklogk)，其中k是最大的石头数量。