在 Julia 中跨数组广播

在 Julia 中，数组广播是一种非常方便且高效的方法，可以让你对一个数组的每个元素执行相同的操作，而不需要显式循环。 在这个教程中，我们将介绍一些跨数组广播的基础知识。

什么是数组广播

数组广播是一种将函数应用于一个数组的每个元素的方法，而不需要显式循环。 假设有两个数组 a=[1,2,3] 和 b=[4,5,6]，在不使用广播的情况下，如果我们想将它们的元素相加，我们可以使用循环来完成：

c = similar(a)
for i in eachindex(a)
    c[i] = a[i] + b[i]
end

使用数组广播，我们可以更简洁地实现：

c = a .+ b

注意，我们在数组 a 和 b 中的加号前面添加了一个点号（ . ）。 这个点号告诉 Julia 对数组进行广播运算。

广播的规则

当数组不具有相同的形状时，Julia 会根据一定的规则自动扩展数组，以便它们可以进行广播运算。 这些规则如下：

1. 如果两个数组的形状相同，则它们可以互相广播。

2. 如果两个数组的形状不同，但至少一个数组的形状是1，则可以通过复制该维来进行广播。

3. 如果两个数组的形状不同，且没有任何一个数组的形状是1，则无法广播，程序将会抛出一个错误。

让我们看一下这些规则如何适用于一些例子。

形状相同的数组广播

让我们先定义两个相同形状的数组：

a = [1 2 3; 4 5 6]
b = [7 8 9; 10 11 12]

现在，我们可以直接将它们相加，无需循环。

c = a .+ b

这里，数组 a 和数组 b 的形状相同，因此它们可以通过广播运算互相加和。

至少一个数组的形状为1

让我们定义一个数组 a=[1,2,3] 和一个形状为 3×3 的数组 b：

a = [1,2,3]
b = [4 5 6; 7 8 9; 10 11 12]

如果我们尝试执行以下操作：

c = a .+ b

我们会得到一个错误：

DimensionMismatch("arrays could not be broadcast to a common size")

这是因为数组 a 和数组 b 的形状不同，因此它们无法直接相加。 不过，如果我们将数组 a 转换为行向量，则可以对其进行广播：

c = a' .+ b

这将把数组 a 均匀复制3次，使其与数组 b 具有相同的形状。

形状不同的数组无法广播

如果我们有两个形状不同的数组，例如 a=[1,2,3] 和 b=[4,5]，则无法使用广播机制来执行操作 a .+ b。 这将导致以下错误：

DimensionMismatch("arrays could not be broadcast to a common size")

这个错误发生是因为，这两个数组的形状既没有一个相同的部分，也没有一列或一行可以在两个数组之间共享。 在这种情况下，最好使用循环来执行此操作。

设置数组广播的维数

我们可以使用符号 ... 来指定广播的维数。 当我们对一个具有多个维度的数组进行广播时，可以选择广播的维数。 例如：

a = [1 2 3]
b = [4,5,6]
c = a .+ b  # 该语句等价于 a .+ b'

在这个例子中，我们使用了 a .+ b' 来强制把数组 b 成为一个行向量，这里的 ' 表示转置。 但是，我们也可以使用 ... 来指定广播的维度：

c = a .+ b'...

这将产生与 a .+ b' 等效的结果。

广播的效率

使用数组广播是非常高效的，因为它使用了优化的底层代码，可以有效地利用 CPU 中的矢量化指令和多核处理器。 在许多情况下，使用数组广播比使用循环更快。

总结

在 Julia 中，使用数组广播可以轻松对数组进行相同的操作，而不需要显式循环。 Julia 自动地应用广播的规则，以确定哪些数组可以广播，以及如何对它们进行广播。 在许多情况下，使用广播可以更加清晰和高效地编写代码。