题目介绍

给定 $m$ 个人，分成 $n$ 个队伍。定义一个“对”为两个队伍之间的配对，求这 $n$ 个队伍之间可能的最小和最大对数。

举例：

如果 $m=5$，$n=2$，总共有 $5$ 个人，我们把他们分成两个队伍，假设队伍 $A$ 有 $2$ 个人，队伍 $B$ 有 $3$ 个人。则它们之间可能的配对是：

$(A_1, B_1)$，$(A_1, B_2)$，$(A_2, B_1)$，$(A_2, B_2)$，$(A_2, B_3)$

因此最小对数为 $5$，最大对数为 $6$。

算法思路

我们可以先考虑最大对数。假设有 $n$ 个队伍，每个队伍的大小为 $s_1, s_2, ..., s_n$，最大对数出现在所有队伍大小都不大于 $\lfloor \frac{m}{2} \rfloor$ 的情况下。此时我们可以让每个队伍都和其他所有队伍匹配，即：

$$(1, 2), (1, 3), ..., (1, n), (2, 3), (2, 4), ..., (2, n), ..., (n-1, n)$$

一共有 $C_n^2$ 个匹配。当 $n$ 很大时，答案可以近似地表示为：

$$C_n^2 \approx \frac{n^2}{2}$$

然后考虑最小对数。假设有 $n$ 个队伍，每个队伍的大小为 $s_1, s_2, ..., s_n$，最小对数出现在所有队伍大小都尽可能接近 $\lfloor \frac{m}{n} \rfloor$ 且相差不超过 $1$ 的情况下。此时每个队伍可以分别和相邻的队伍匹配，再把剩下的队伍两两匹配即可。如果每个队伍大小相等，则答案为：

$$\lfloor \frac{n(m-n)}{2n} \rfloor$$

代码实现

def max_min_pair_num(m, n):
    # 最大对数
    max_pairs = n * (n-1) // 2
    if m % n > 0:
        max_pairs += (m % n) * (m // n + 1) * (m // n) // 2 + (n - m % n) * (m // n) * (m // n - 1) // 2
    else:
        max_pairs += n * (m // n) * (m // n - 1) // 2

    # 最小对数
    min_pairs = n * (m // n) * (m // n - 1) // 2
    min_pairs += (m % n) * (m // n) * (m // n + 1) // 2

    return max_pairs, min_pairs

以上是使用 Python 语言实现的根据题目描述求最大和最小对数的代码片段。