由M个边组成的N个给定顶点组成的非循环图的节点值的最大按位XOR

在计算机科学中，按位异或（XOR）是一种常见的位运算，用于将两个二进制数的相应位进行比较。在解决一些有趣的问题时，这种运算的具体操作也会变得有趣。其中之一就是在给定的非循环图中，找到节点值的最大按位XOR。

问题描述

给定一个由M个边组成的N个给定顶点的非循环图，每个节点都有一个值。我们需要找到在该图中可以从任意两个节点之间形成的路径中，XOR值最大的两个节点。 例如，如果一个节点的值是5，另一个节点的值是9，其XOR值为12（二进制1010）。

解决方案

这个问题可以通过使用Trie树来解决。Trie是一种数据结构，它将每个字母作为树的一层，通过将每一位的0和1分开来，使得树的深度与输入数字的二进制表示长度一样深。每个节点都有两个子节点（0和1），并且表示在该位上0或1。叶节点表示number已经完成。在本问题中，trie树的根节点将代表最高位（每个节点都具有两个子节点，0和1），而叶子节点将代表每个给定的数字。

我们可以将每个节点值插入Trie树，然后在该树中搜索值的最大异或。为了找到最大异或值，我们需要以加速方式通过Trie树来检查每个节点值的异或匹配。

具体而言，假设tire表示当前问题的数字，tire[0]represents前一步我们已经考虑了最高位bit（MSB）为1的情况，并且我们发现了两个数字A和B，现在正在考虑下一个bit。我们已经处理了A和B的前缀bits，在已经构建的trie树中已经有了一个共同的节点C。 现在，而C有两个子节点（0和1），它们代表C的下一个bit的值为0或1。接下来，我们会更细致地讨论一下CPU寻找零件的方法以及我们如何利用它来解决这个问题。

1. 插入和搜索元素

下图是一个三个数（8、7和2）用trie树表示的例子，其中每个叶子节点是三个数值的前缀，而8节点相应的分支的值为1，7节点的分支值为0，以此类推。

          Trie Tree: 
                (MSB)
                 / \
                1   0
               /     \
              0       1
             /         \
            0           0
           /             \
          0               1
       (8,2)             (7)

在将每个节点值插入trie树中，我们可以使用下面的代码。

class TrieNode:
    def __init__(self):
        self.children = {}
        
class Trie:
    def __init__(self):
        self.root = TrieNode()
        
    def insert(self, num):
        node = self.root
        for i in range(31,-1,-1):
            bit = (num >> i) & 1
            if bit not in node.children:
                node.children[bit] = TrieNode()
            node = node.children[bit]
            
    def search(self, num):
        node = self.root
        result = 0
        for i in range(31,-1,-1):
            bit = (num >> i) & 1
            complement = 1 - bit
            if complement in node.children:
                node = node.children[complement]
                result |= 1 << i
            else:
                node = node.children[bit]
        return result

2. 找到最大异或

为了找到两个数字之间的最大XOR值，我们需要对Trie树进行遍历，并在遍历时选择最佳的匹配。具体来说，我们可以将所有整数以二进制形式插入trie树中。我们从树的根节点开始遍历，沿着可用的路径向下，直到我们遇到一个没有子节点的节点为止。当我们移动到下一个位时，我们应该尽量选择与所需比较的数相反的位，这样可以使XOR尽可能大。如果没有这样的相反的位，那么我们就选择与所需比较的数相同的位。

class Solution:
    def findMaximumXOR(self, nums: List[int]) -> int:
        trie = Trie()
        for num in nums:
            trie.insert(num)
        
        max_xor = float('-inf')
        for num in nums:
            max_xor = max(max_xor, trie.search(num))
        
        return max_xor

时间复杂度

时间复杂度为O(NlogM), 其中M是节点的最大值。