由使用 M 条边的 N 个给定顶点组成的无环图的节点值的最大按位异或

在给定的无环图中，每个节点都有一个整数值。任务是找到两个节点，它们之间的路径上经过的所有节点的值的按位异或值最大。

解决方案

一种常见方法是使用 Trie 树。Trie 树是一种有向无环图，其中每个节点对应于一些字符串的前缀。从根节点开始沿着边，可以逐步构建匹配输入中的字符串的路径。每个节点都有一组出边，每个出边都对应一个字母。如果一个字符串在 Trie 树上有一个相应的节点，则在从根节点到该节点的路径上沿着边的字母构成的字符串是这个字符串的前缀。由于 Trie 树可以表示输入字符串集的所有公共前缀，因此它在查找最长公共前缀等问题上非常有用。

在本问题中，我们可以将所有节点的值转换为二进制表示，并从左到右将每个节点的二进制位插入 Trie 树中（即，树的根节点的二进制索引为最高位，叶节点对应于最低位）。为了查找最大异或，我们从根节点开始，沿着最不相同的路径前进，直到到达一个叶节点。例如，假设我们正在尝试找到两个节点 u 和 v 之间的最大异或。我们将它们表示为二进制字符串，我们将从根节点开始沿着最不相同的路径前进，直到找到两个二进制字符串中首个不同的位，在该位之前形成的路径就是所需路径。更进一步说，我们可以在 Trie 树上从根节点开始，查找与路径最不相同的二进制值相同的节点。假设我们的最不相同路径是 a，我们将节点的值分为两个组：左子节点（节点值的相应位为 0）和右子节点（节点值的相应位为 1）。在此处，如果a的当前位是0，我们应该首先检查右子节点（因为1 ⊕ 0 = 1，右子节点表示更大的值）。

伪代码

class TrieNode:
    def __init__(self):
        self.children = {}
        self.value = None

class Trie:
    def __init__(self, depth):
        self.root = TrieNode()
        self.depth = depth

    def insert(self, value):
        node = self.root
        for i in range(self.depth, -1, -1):
            bit = (value >> i) & 1
            if bit not in node.children:
                node.children[bit] = TrieNode()
            node = node.children[bit]
        node.value = value

    def find(self, value):
        node = self.root
        result = 0
        for i in range(self.depth, -1, -1):
            bit = (value >> i) & 1
            if bit in node.children:
                node = node.children[bit]
                result = (result << 1) | 1
            else:
                node = node.children[1 - bit]
                result = result << 1
        return result ^ value

def find_max_xor_path(n, edges):
    trie = Trie(max(map(len, (bin(n - 1)[2:] for n in range(n)))))
    for u, v, w in edges:
        trie.insert(w)
    result = 0
    for u, v, w in edges:
        result = max(result, trie.find(w))
    return result

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n \log{n})$，其中 n 是节点的数量。我们需要对所有节点进行二进制转换（最多 $\log{n}$ 位），并将它们插入 Trie 树中，需要 $O(n \log{n})$ 的时间。遍历边花费 $O(m)$ 的时间，其中 m 是边的数量。在 Trie 树中查找每条边的路径所需的时间为 $O(\log{n})$，因此总复杂度为 $O(n \log{n} + m \log{n})$。
• 空间复杂度：$O(n \log{n})$，其中 n 是节点的数量。我们需要为每个节点分配一个 Trie 树节点，该节点的空间需求为 $O(\log{n})$。