计算由 X 或 Y 组成的 N 位数字，其数字总和也由 X 或 Y 组成

这个问题实际上是一道组合数学问题，可以用组合数学的方法来解决。假设我们要计算由 X 或 Y 组成的 N 位数字，其数字总和也由 X 或 Y 组成的数量。

首先，我们可以知道由 X 或 Y 组成的 N 位数字的总数为 $2^N$。因为每一位数字都有两种可能取值，即 X 或 Y。

接下来，我们要计算数字总和也由 X 或 Y 组成的数量。假设数字总和为 S，那么 X 和 Y 分别出现的次数分别为 a 和 b，满足 $a+b=N$。我们可以将数字分成两组：一组是由 X 组成的数字，一组是由 Y 组成的数字。假设由 X 组成的数字的数字总和为 s，由 Y 组成的数字的数字总和为 t，那么有：

$$ s + t = S $$

我们可以用插板法来计算这个方程的解。假设有 S 个插板和 N-1 个球，我们要将球放入插板中，使得每个插板上至少有一个球。显然，球的排列方案数为 $C_{N-1}^{S-1}$。同时，我们还要考虑它们对应的数字组合的方案数。因为数字总和也由 X 或 Y 组成，所以我们只需要考虑 X 和 Y 的出现次数即可。假设 s 个插板分割出了 a 个区间，t 个插板分割出了 b 个区间，那么有：

$$ \begin{aligned} a + b &= N-1 \ as + bt &= S \end{aligned} $$

我们可以将上述方程组写成矩阵形式：

$$ \begin{pmatrix} s & t \ t & s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} S \ N-1 \end{pmatrix} $$

使用 Cramer's rule 可以求出 $a$ 和 $b$。因此，数字总和也由 X 或 Y 组成的方案数为：

$$ C_{N-1}^{S-1} \cdot C_{N}^{a} \cdot C_{N-a}^{b} $$

最终的答案为所有 S 的可能取值分别计算上述方案数之和。

以下是 Python 代码实现：

def count_digits_sum(X, Y, N):
    ans = 0
    for S in range(N*X, N*Y + 1):
        for a in range(max(0, S - (N-Y)*X), min(N-X, S-Y*X) + 1):
            b = N - a
            cnt = binom(N-1, S-1) * binom(N, a) * binom(N-a, b)
            ans += cnt
    return ans

def binom(n, k):
    if k < 0 or k > n: return 0
    if k == 0 or k == n: return 1
    k = min(k, n - k)
    c = 1
    for i in range(k):
        c *= n - i
        c //= i + 1
    return c

其中，count_digits_sum(X, Y, N) 函数用于计算由 X 或 Y 组成的 N 位数字，其数字总和也由 X 或 Y 组成的数量。binom(n, k) 函数用于计算组合数 $C_n^k$。