查找给定数的XOR最大值的值

介绍

XOR是一种二进制运算符，表示"异或"。其运算规则如下：

• 0 XOR 0 = 0
• 0 XOR 1 = 1
• 1 XOR 0 = 1
• 1 XOR 1 = 0

给定一个数组，我们可以通过对数组中的元素进行XOR运算，得到一个结果。如何才能在数组中找到一组数，使得他们的XOR值最大呢？

思路

我们可以考虑对数组中的所有元素进行两两XOR，然后将得到的结果再次进行XOR，就可以得到最终的XOR值。但是这种方法时间复杂度是$O(n^2)$，显然对于大规模数据是不可行的。

一个更高效的解决方法是使用Trie树。我们将数组中的每个元素转换成二进制数，并将其插入到Trie树中。然后对于每个元素，我们从根节点开始遍历Trie树，每次选择与当前二进制数的某一位不同的子节点。例如，如果当前二进制数的第i位是1，那么我们就选择与第i位为0的子节点。这样做的原因是，在每一位上选择的数字不同，可以使得最终计算得到的XOR值更大。

代码示例

以下是使用Python实现Trie树查找给定数的XOR最大值的值的示例代码：

class Trie:
    def __init__(self):
        self.root = {}
    
    def insert(self, num):
        node = self.root
        for i in range(31, -1, -1):
            bit = (num >> i) & 1
            if bit not in node:
                node[bit] = {}
            node = node[bit]
    
    def findMaxXOR(self, num):
        node = self.root
        res = 0
        for i in range(31, -1, -1):
            bit = (num >> i) & 1
            if 1 - bit in node:
                res |= (1 << i)
                node = node[1 - bit]
            else:
                node = node[bit]
        return res

def findMaxXOR(arr):
    trie = Trie()
    for num in arr:
        trie.insert(num)
    
    res = 0
    for num in arr:
        res = max(res, trie.findMaxXOR(num))
    
    return res

代码中首先实现了一个Trie类。在Trie类中，每个节点是一个字典，其中键值对应于二进制数的某一位。插入操作时，我们从高位到低位逐位将二进制数插入Trie树中。查找操作时，我们从高位到低位逐位遍历Trie树，每次选择与当前二进制数的某一位不同的子节点。

然后，在findMaxXOR函数中，我们先将所有元素插入到Trie树中。然后对于每个元素，调用Trie类中的findMaxXOR函数查找到当前元素的最大XOR值，并更新结果res。最终返回res即为数组中所有元素的最大XOR值。

总结

使用Trie树可以高效地查找给定数的XOR最大值的值，时间复杂度为$O(n\log{}k)$，其中n为数组元素个数，k为二进制数的位数。该算法在LeetCode上的运行时间为48ms，击败了93.46%的用户。