计算具有特定 XOR 值的子集数

在计算机科学中，XOR（异或）是一种逻辑运算符。它接受两个布尔值，如果它们不相同，则返回true，否则返回false。在本文中，我们将学习如何计算具有特定XOR值的子集数。

问题描述

给定一个非空整数数组，计算具有特定XOR值的子集数。

解决方案

我们将使用动态规划来解决这个问题。首先，我们需要定义一些变量和数据结构。

• 数组 $nums$，它包含了我们要计算的所有整数。
• $n$ 是 $nums$ 中整数的数量。
• $x$ 是要计算的XOR值。
• $dp[i][j]$ 表示：前 $i$ 个数字中，XOR值为 $j$ 的子集数量。

然后我们可以定义初始状态：

• $dp[0][0] = 1$，因为在前0个数字中，XOR为0的子集有1个，即空子集。

现在我们可以开始计算动态规划状态了。对于数组中的任意数字 $nums[i]$，我们可以将其添加到之前计算出的所有子集中，从而得出新的XOR值。具体来说，对于所有的 $j$，我们可以得到以下状态转移方程：

• $dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j \operatorname{xor} nums[i-1]]$

其中，$\operatorname{xor}$ 表示异或运算符。

最后，我们返回 $dp[n][x]$ 的值，即我们要求的具有特定XOR值的子集数量。

下面是使用Python编写的动态规划代码：

def count_subsets_with_given_xor(nums, x):
    n = len(nums)
    dp = [[0] * (1 << 13) for _ in range(n + 1)]
    dp[0][0] = 1
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1 << 13):
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j ^ nums[i-1]]
    return dp[n][x]

时间复杂度

该算法的时间复杂度是 $O(n \times 2^{13})$，其中 $n$ 是数组中整数的数量。这是因为我们需要为每个子集的XOR值维护一个状态，其范围为 $0$ 到 $2^{13}-1$。

空间复杂度

该算法需要一个二维数组 $dp$ 来存储子问题的结果。因此，空间复杂度为 $O(n \times 2^{13})$。

总结

在本文中，我们介绍了如何计算具有特定XOR值的子集数量。我们使用了动态规划来解决这个问题，并给出了相应的时间和空间复杂度分析。