具有最大可能 XOR 值的子集计数介绍

什么是 XOR 值？

XOR 是异或运算，指的是相同位上数字不同则结果为1，否则结果为0。例如，1 xor 1 = 0，0 xor 1 = 1。

问题描述

现在有一个整数集合 nums，我们需要找到一个子集，使得这个子集中任意两个数的 XOR 值的结果最大，并计算这个最大可能的 XOR 值的子集的数量。

例如，给定 nums = [3, 10, 5, 25, 2, 8]，我们可以选择子集 {5, 25}，这样 XOR 值最大，为 30。另外还可以选择子集 {0}，XOR 值为 0，而这个子集又含有6个元素，所以最终结果为6。

解决方案

本题可以使用位运算和贪心算法来解决。具体来说，我们可以枚举最终的 XOR 结果 bit-by-bit，从高位到低位逐一确定。

假设当前已经确定了前 k 位，那么我们可以得到如下结论：

• 如果当前 k-1 位已经确定，那么在第 k 位上我们应该尽量选择不同的数字，这样才能使得异或结果尽量大。
• 如果当前 k-1 位已经确定，但是所有数字的第 k 位都相同，那么第 k 位对最终结果的贡献为0。此时我们只需要在剩余的数字中继续确定下一位即可。

根据上述结论，我们可以使用以下代码来实现这个算法：

def findMaximumXORSubset(nums: List[int]) -> int:
    res = 0
    for i in range(31, -1, -1):  # 从最高位开始枚举
        res <<= 1
        candidates = set(num >> i for num in nums)  # 获取所有数字的第 i 位
        res += any(res ^ 1 ^ c in candidates for c in candidates)  # 如果第 i 位均相同，则不必更新 res
    return res

该函数的时间复杂度为 O(nlog𝑚)，其中 n 为 nums 的长度，m 为 nums 中元素的最大值。此外，我们还可以计算具有最大可能 XOR 值的子集的数量：

def countMaxXORSubsets(nums: List[int]) -> int:
    max_XOR = findMaximumXORSubset(nums)
    res = sum(1 for num in nums if num == max_XOR)  # 统计包含最大可能 XOR 值的子集数量
    for i in range(31, -1, -1):
        if max_XOR >> i & 1:  # 如果当前位是1
            res *= sum(1 for num in nums if num >> i & 1 == 0)  # 将当前位为0的数字都选上
        else:  # 如果当前位是0
            res *= sum(1 for num in nums if num >> i & 1 == 1)  # 将当前位为1的数字都选上
    return res

该函数的时间复杂度为 O(nlog𝑚)。

总结

本题是一道比较有意思的位运算和贪心算法题目，要求我们找到一个子集，使得其中任意两个数的 XOR 值的结果最大，并计算这个最大可能的 XOR 值的子集的数量。我们可以使用枚举 bit-by-bit 的方法来确定每一位，进而得到最终结果。