生成平衡括号序列所需的最低成本

生成平衡的括号序列是一个在计算机科学中非常常见的问题。这个问题与组合数学联系紧密，因为一个长度为 n 的括号序列就相当于一列长度为 2n 的排列，其中每个位置上要么是左括号 (，要么是右括号 )。

给定一个长度为 n 的括号序列，我们称它平衡的条件是对于任意前缀，左括号的数量都不少于右括号的数量。不平衡的括号序列是无效的，并且不满足这个条件的序列会导致语法错误、计算错误或者其他问题。

为了生成一个平衡的括号序列，我们可以考虑使用递归或动态规划等方法。下面介绍一些解决这个问题的常见方法。

递归

递归是一种直观的方法，我们可以基于以下思路生成括号序列：

• 在一个长度为 n 的序列中插入一个左括号 (；
• 在一个至少包含一个左括号的序列中插入一个右括号 )；
• 终止条件是生成的序列长度为 2n。

按照上面的思路，我们可以得到以下 Python 代码片段：

def generate(n, left=0, right=0, s=""):
    if len(s) == 2 * n:
        return [s]
    res = []
    if left < n:
        res.extend(generate(n, left + 1, right, s + "("))
    if left > right:
        res.extend(generate(n, left, right + 1, s + ")"))
    return res

这个代码片段使用了递归函数 generate，其中 n 表示括号序列的长度，left 表示左括号的数量，right 表示右括号的数量，s 表示当前生成的括号序列。

该函数首先检查是否达到了终止条件（长度为 2n），如果是，则返回当前的括号序列。否则，它先尝试在当前序列末尾加入一个左括号 (，并递归调用自己，此时 left 加 1，表示已经添加了一个左括号。然后，它再尝试在当前序列末尾加入一个右括号 )，前提是当前序列中左括号的数量比右括号的数量大，此时 right 加 1，表示已经添加了一个右括号。最后，返回所有递归调用函数的结果，即所有可能的括号序列。

动态规划

动态规划是另一种解决此类问题的常见方法。我们可以定义一个状态表示当前状态下每个位置上的括号是否是左括号，然后按照一定规律转移状态，最终得到所有可能的括号序列。

具体来说，我们可以通过以下状态定义和状态转移方程来求解这个问题：

• 状态 dp[i] 表示长度为 2i 的括号序列的所有可能组合；
• 状态转移方程：dp[i] = "(" + dp[j] + ")" + dp[i-j-1]，其中 0 <= j < i。

按照这个方法，我们可以得到以下 Python 代码片段：

def generate(n):
    dp = [[] for _ in range(n + 1)]
    dp[0] = [""]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(i):
            dp[i].extend(["(" + x + ")" + y for x in dp[j] for y in dp[i - j - 1]])
    return dp[n]

这个代码片段使用了动态规划，其中 dp[i] 表示长度为 2i 的括号序列的所有可能组合。初始化时，我们设 dp[0] 为一个空字符串。接下来，我们通过状态转移方程将所有状态转移过来，最终得到长度为 2n 的括号序列的所有可能组合。

结论

通过递归和动态规划等方法，我们可以生成长度为 n 的平衡括号序列。递归方法的时间复杂度为 $O(4^n/\sqrt{n})$，空间复杂度为 $O(4^n/\sqrt{n})$。动态规划方法的时间复杂度为 $O(4^n/n^{3/2})$，空间复杂度为 $O(4^n/n^{1/2})$。可以看出，动态规划方法的时间复杂度和空间复杂度较小，因此在实际应用中更为常见。