矩阵中从左上角到右下角的字典序最大素数路径

简介

本文介绍一个问题：如何在一个给定的矩阵中找到从左上角出发，到右下角的所有路径中字典序最大的素数路径？

在本问题中，“字典序最大”的路径的定义为：比如对于两个路径 [1, 2, 3, 4] 和 [1, 2, 3, 5]，我们认为 [1, 2, 3, 5] 的字典序比 [1, 2, 3, 4] 大，因为在位置 3 上它的数字更大“素数路径”的定义为：路径上的所有数字都是素数。

本文将介绍两种解法：一种暴力解法，一种优化解法。其中的优化解法基于动态规划，时间复杂度为 $O(n^3)$，可以处理 $n \leq 100$ 的情况。

暴力解法

我们可以通过回溯法找到从左上角到右下角的所有路径，并在这些路径中找到一个字典序最大的素数路径。代码如下：

import math

def is_prime(num):
    if num <= 1:
        return False
    for i in range(2, int(math.sqrt(num))+1):
        if num % i == 0:
            return False
    return True

def backtrack(matrix, i, j, path, res):
    if i == len(matrix)-1 and j == len(matrix[0])-1:
        if all(is_prime(num) for num in path):
            res.append(path)
        return
    if i < len(matrix)-1:
        backtrack(matrix, i+1, j, path+[matrix[i+1][j]], res)
    if j < len(matrix[0])-1:
        backtrack(matrix, i, j+1, path+[matrix[i][j+1]], res)

def find_max_prime_path(matrix):
    res = []
    backtrack(matrix, 0, 0, [matrix[0][0]], res)
    # 找到所有的素数路径
    prime_paths = [path for path in res if all(is_prime(num) for num in path)]
    # 按字典序排序
    prime_paths.sort(reverse=True)
    if prime_paths:
        return prime_paths[0]
    return None

复杂度分析

由于我们需要找到所有的路径，并且在其中找到一个字典序最大的素数路径，因此时间复杂度为 $O(2^{n^2})$，空间复杂度为 $O(n^2)$。

在具体实现中，我们还可以对路径做一些剪枝，以减少不必要的计算。比如，在回溯过程中，如果发现当前路径已经不是一个素数路径，就可以不需要再往下走了。

动态规划

优化解法的核心思想是，将问题转化为求从左上角到右下角的所有路径中字典序最大的素数路径的值。

我们可以使用一个二维的数组 $dp(i,j)$，表示从左上角到位置$(i,j)$的所有路径中字典序最大的素数路径的值。则最终的答案即为 $dp(n-1,m-1)$。

具体的转移方程可以这样定义：

$$ dp(i,j)=\begin{cases} matrix_{0,0} & i=0,j=0 \ 0 & matrix_{i,j} \not\in \rm{Prime} \ {\rm{max}}{dp(i-1, j), dp(i, j-1)} \times 10 + matrix_{i,j} & {\rm{otherwise}} \end{cases} $$

其中，$\rm{Prime}$ 表示素数的集合。

从左上角到右下角的所有路径中字典序最大的素数路径，要么是从 $(i-1, j)$ 直接走下来，要么是从 $(i, j-1)$ 直接走过来，再加上当前位置的值。由于我们要求的是字典序最大的素数路径，因此需要比较这两个数哪个乘以 10 之后更大，取其中较大的值。如果当前位置不是素数，那么 $dp(i,j)$ 值置为 0。

代码如下：

import math

def is_prime(num):
    if num <= 1:
        return False
    for i in range(2, int(math.sqrt(num))+1):
        if num % i == 0:
            return False
    return True

def find_max_prime_path(matrix):
    dp = [[0] * len(matrix[0]) for _ in range(len(matrix))]
    dp[0][0] = matrix[0][0] if is_prime(matrix[0][0]) else 0
    for i in range(1, len(matrix)):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] * 10 + matrix[i][0] if is_prime(matrix[i][0]) else 0
    for j in range(1, len(matrix[0])):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] * 10 + matrix[0][j] if is_prime(matrix[0][j]) else 0
    for i in range(1, len(matrix)):
        for j in range(1, len(matrix[0])):
            if is_prime(matrix[i][j]):
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) * 10 + matrix[i][j]
    return dp[-1][-1] if dp[-1][-1] != 0 else None

复杂度分析

时间复杂度为 $O(n^3)$，空间复杂度为 $O(n^2)$。

总结

本文介绍了两种解决矩阵中从左上角到右下角的字典序最大素数路径的方法：暴力解法和优化解法。虽然暴力解法的时间复杂度较高，但是代码简单，易于理解。优化解法利用了动态规划的思想，时间复杂度有所提升，但是可以处理 $n \leq 100$ 的情况，足以解决大部分问题。