导语

本文介绍一道算法题目：给定 n 个数字，将它们分成一些小组然后将每组内的数字相乘，最后将各组结果相加，求其最小值。本文将为大家提供解题思路以及代码实现。

问题分析

假设有 n 个数字 a1, a2, …, an，一共有 k 个小组，每个小组包含若干个数字。那么它们的最小乘法和是多少？即 min(A1B1 + A2B2 + … + Ak*Bk)，其中 Ai 是第 i 个小组内的数字的积，Bi 是第 i 个小组内数字个数的乘积。

可以看出，题目的核心是如何将 n 个数字分成若干个小组。由于全排列的时间复杂度是 O(n!)，因此不能通过全排列进行搜索。

同一组内的数字会相乘，并且乘法是具有传递性的，即有 ABC = (AB)C = A(BC)，因此可以尝试使用动态规划进行求解。

动态规划

由题目可以得出一个结论：小数之和的最小值必然是由若干个小数乘积相加得到的。因此，可以使用动态规划求解。

设 dp[i][j] 表示前 i 个数字分成 j 个小组时的最小乘法和，可以列出如下的状态转移方程：

$$ dp[i][j] = \min\limits_{k=1}^{i-1} {dp[k][j-1] + s[k+1][i] * (j-1)} $$

其中，k 是当前小组的最后一个数字，s[k+1][i] 表示从第 k + 1 个数字到第 i 个数字之间的积。状态转移方程的含义是：将前 i 个数字分成 j 个小组时，最小乘法和等于将前 k 个数字分成 j-1 个小组的最小乘法和加上一个新的小组，该小组包含从第 k+1 个数字到第 i 个数字这个区间内的数字相乘的积。

最终的答案是 dp[n][k]。

代码实现

下面是 Python 代码的实现：

def solve(nums, k):
    n = len(nums)
    s = [[1] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(i, n + 1):
            s[i][j] = s[i][j - 1] * nums[j - 1]
    dp = [[0x7fffffff] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
    dp[0][0] = 0
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, k + 1):
            for l in range(j - 1, i):
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[l][j - 1] + s[l + 1][i] * (j - 1))
    return dp[n][k]

代码中，s[i][j] 表示从第 i 个数字到第 j 个数字之间的积，dp[i][j] 表示前 i 个数字分成 j 个小组时的最小乘法和。

总结

本文介绍了一道算法题目：给定 n 个数字，将它们分成一些小组然后将每组内的数字相乘，最后将各组结果相加，求其最小值。本文详细地分析了该问题，提出了使用动态规划求解该问题的思路，并给出了代码实现。本文希望能对大家的算法学习有所帮助。