具有 1 个 MapReduce 步骤的矩阵乘法

简介

矩阵乘法是在各个领域中广泛应用的一个重要数学运算。在大规模数据计算时，使用MapReduce可以有效地处理矩阵乘法。本文介绍了一个使用MapReduce计算矩阵乘法的简单算法，该算法仅仅使用了一个MapReduce步骤。

算法描述

假设有两个矩阵A和B，它们的乘积为C。其中矩阵A的维度为m×p，矩阵B的维度为p×n，矩阵C的维度为m×n。那么矩阵C中的每一个元素c(i,j)都可以由矩阵A中的第i行和矩阵B中的第j列相乘得到，即

c(i,j) = a(i,1)*b(1,j) + a(i,2)*b(2,j) + ... + a(i,p)*b(p,j)

我们可以利用MapReduce将矩阵A和矩阵B的每一行作为一组键值对，然后在reduce函数中将这些键值对相乘，得到矩阵C中的一行。最终，MapReduce作业的输出就是矩阵C的所有行组成的键值对列表。

Map函数

在本算法中，map函数的输入为一行矩阵。map函数的输出为每个元素在矩阵乘法中要用到的键值对。具体来说，map函数会将矩阵A的每一行映射为由列号和该行的值组成的键值对列表，将矩阵B的每一行映射为由行号和该行的值组成的键值对列表。

def matrix_map(key, line):
    line = line.strip().split("\t")
    matrix_id, matrix_line = line[0], line[1:]
    matrix_line = [float(x) for x in matrix_line]

    if matrix_id == "A":
        m, p = len(matrix_line), len(matrix_line)
        for j in range(1, p+1):
            yield (0, ((matrix_id, j), matrix_line[j-1]))
    
    if matrix_id == "B":
        p, n = len(matrix_line), len(matrix_line)
        for i in range(1, p+1):
            yield (i, ((i, matrix_id), matrix_line[i-1]))

在上述代码中，变量key表示输入行的行号，变量line表示输入的行。首先使用strip()函数去除行末尾的空格，然后使用split("\t")函数将该行分割成多个元素，并将其存储在matrix_line中。matrix_id表示矩阵A或矩阵B。然后根据矩阵A和矩阵B的维度，将每个元素映射为一个键值对。其中键为一个二元组，表示该元素在矩阵C中的行号和列号；值为该元素的值。

Reduce函数

在本算法中，reduce函数的输入为包含相同键的键值对列表。reduce函数的输出为矩阵C中的一行。具体来说，reduce函数会将每个键值对中的值相乘，并将这些值的和作为矩阵C中对应元素的值。

def matrix_reduce(key, values):
    c_line = [0] * n
    for v in values:
        idx, val = v
        if idx[0] == "A":
            row_idx = idx[1]
            for j in range(n):
                c_line[j] += val * b[row_idx][j]
        if idx[0] == "B":
            col_idx = idx[1]
            for i in range(m):
                c_line[i] += val * a[i][col_idx]
    yield (key, c_line)

在上述代码中，变量key表示要计算的矩阵C的行号。变量values表示拥有相同键的键值对列表。首先将矩阵C的该行初始化为0，然后将map函数中映射得到的键值对中的值相乘，并加到相应的元素上。最后，将该行作为键值对输出。

完整代码

from mrjob.job import MRJob

class MatrixMultiplication(MRJob):

    def mapper(self, key, line):
        line = line.strip().split("\t")
        matrix_id, matrix_line = line[0], line[1:]
        matrix_line = [float(x) for x in matrix_line]

        if matrix_id == "A":
            m, p = len(matrix_line), len(matrix_line)
            for j in range(1, p+1):
                yield (0, ((matrix_id, j), matrix_line[j-1]))
    
        if matrix_id == "B":
            p, n = len(matrix_line), len(matrix_line)
            for i in range(1, p+1):
                yield (i, ((i, matrix_id), matrix_line[i-1]))
        
    def reducer(self, key, values):
        c_line = [0] * n
        for v in values:
            idx, val = v
            if idx[0] == "A":
                row_idx = idx[1]
                for j in range(n):
                    c_line[j] += val * b[row_idx][j]
            if idx[0] == "B":
                col_idx = idx[1]
                for i in range(m):
                    c_line[i] += val * a[i][col_idx]
        yield (key, c_line)
    
if __name__ == '__main__':
    A = [[1,2,3], [4,5,6]]
    B = [[7,8], [9,10], [11, 12]]
    m, p, n = len(A), len(A[0]), len(B[0])
    a = [A[i] for i in range(m)]
    b = [[B[i][j] for i in range(p)] for j in range(n)]
    input_data = []
    for i in range(m):
        input_data.append(("A", "\t".join(str(x) for x in a[i])))
    for j in range(n):
        b_j = b[j]
        input_data.append(("B", "\t".join(str(x) for x in b_j)))
    MRJob.run(MRJob(args=input_data))

总结

本文介绍了一个使用MapReduce计算矩阵乘法的简单算法。本算法仅仅使用了一个MapReduce步骤，将矩阵A和矩阵B的每一行作为一组键值对，在reduce函数中将这些键值对相乘，得到矩阵C中的一行。具体来说，map函数会将矩阵A的每一行映射为由列号和该行的值组成的键值对列表，将矩阵B的每一行映射为由行号和该行的值组成的键值对列表。reduce函数会将每个键值对中的值相乘，并将这些值的和作为矩阵C中对应元素的值。