矩阵链乘法（AO(N^2) 解）

简介

矩阵链乘法（Matrix Chain Multiplication）是指在计算机科学中最基本的一类问题，其解法可以用于解决各种相关问题，如图像处理、计算机图形学等。其问题是在一连串的矩阵相乘中，找到一种最优的计算次序，使得计算总次数最少。

矩阵乘法是不交换的，矩阵乘法的计算量是随着矩阵乘法的次序而有所不同的。例如，若有 A、B 和 C 三个矩阵相乘，则不同的计算次序会产生不同的计算量。

解法

从矩阵链中选取两个矩阵 A 和 B，其中 A 的列数需等于 B 的行数，才能进行 A × B 的矩阵乘法。那么，找到最优的计算方案就意味着把矩阵链划分为若干个包含两个矩阵的小矩阵链，使得所需的计算总次数最少。

例如，考虑三个矩阵 A、B 和 C，它们的维数为 p × q、q × r 和 r × s，那么有两个不同的计算次序：

1. 先计算 (AB) × C，共需计算 p × q × r + p × r × s = pqr + prs 次；
2. 先计算 A × (BC)，共需计算 q × r × s + p × q × s = qrs + pqs 次。

因此，若想要计算总次数最少，则需选取上述两种计算方案中所需计算次数较少的方案。

代码

以下是矩阵链乘法的 C++ 代码实现，时间复杂度为 O(N^3)：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 10005;
int dp[MAXN][MAXN], p[MAXN];

int matrix_chain_multiplication(int n) {
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (int len = 2; len <= n; len++) {
        for (int i = 1; i <= n - len + 1; i++) {
            int j = i + len - 1;
            dp[i][j] = INF;
            for (int k = i; k < j; k++) {
                int tmp = dp[i][k] + dp[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];
                dp[i][j] = min(dp[i][j], tmp);
            }
        }
    }
    return dp[1][n];
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        cin >> p[i];
    }
    int ans = matrix_chain_multiplication(n);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

参考文献

• 《算法竞赛进阶指南》