门 | GATE CS 2021 |设置 2 |第 40 题

该题是GATE2021考试的计算机科学设置2的第40题。该题目考察了算法的设计和分析，要求选择正确的算法实现元素排序。

题目描述

给出$n$个元素的数组$A$，要求按照数组中元素的大小顺序排序，不能使用快速排序，使用以下两种算法中的一种：

• Algorithm 1: 在$a_i$和$a_{i+1}$中选择最小的一个，并将它们与$a_{i+1}$和$a_i$对换位置，$i=1,2,...,n-1$。

• Algorithm 2: 依次查找$a_1$至$a_n$中最小的元素，将其移至$a_1$处，再将$a_2$至$a_n$中最小的元素移至$a_2$处，以此类推，直到所有元素均在正确的位置处。

实现算法，计算其时间复杂度，并给出在最坏和最好的情况下的时间复杂度。

解题思路

对于这道题目，我们需要考虑两种不同的排序算法，分别是Algorithm 1和Algorithm 2。对于Algorithm 1，我们可以采用简单的冒泡排序来实现；对于Algorithm 2，我们可以采用选择排序来实现。

算法实现

Algorithm 1

def algorithm1(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(n - 1):
        for j in range(n - i - 1):
            if arr[j] > arr[j + 1]:
                arr[j], arr[j + 1] = arr[j + 1], arr[j]
    return arr

在Algorithm 1中，我们使用了嵌套的循环来进行排序操作。外层循环将数组遍历了$n-1$次，内层循环将数组中相邻的元素进行比较，如果发现前面的元素大于后面的元素，则将它们进行交换。

Algorithm 2

def algorithm2(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(n):
        min_index = i
        for j in range(i + 1, n):
            if arr[j] < arr[min_index]:
                min_index = j
        arr[i], arr[min_index] = arr[min_index], arr[i]
    return arr

在Algorithm 2中，我们同样使用了嵌套的循环来进行排序操作。外层循环将数组遍历了$n$次，内层循环将数组中未排序部分的所有元素进行比较，找出其中最小的元素并将其移到已排序部分的最后面。

时间复杂度分析

Algorithm 1

在Algorithm 1中，最坏情况下每一个元素都需要比较$n-1$次才能找到其正确的位置。因此，它的时间复杂度为$O(n^2)$。最好情况下，如果输入数组本身就已经是有序的，那么它只需要进行$n-1$次比较即可完成排序，因此时间复杂度为$O(n)$。

Algorithm 2

在Algorithm 2中，无论什么情况下，它都需要进行$n^2$次比较，因此时间复杂度为$O(n^2)$。最好情况下，输入数组本身就已经是有序的，但是Algorithm 2仍然需要进行$n^2$次比较来找到数组中的最小元素，因此它的时间复杂度在最好情况下仍然为$O(n^2)$。

总结

这道题目考察了算法的设计和分析。针对不同的排序算法，我们可以采用不同的方法来实现。在实现算法的过程中，我们需要理解算法的实质并选择合适的数据结构和算法来提高效率。此外，我们还需要分析算法的时间复杂度，以便在实际运用中做出更好的选择。