使用基于 GNU 树的容器的间隔树

什么是间隔树

间隔树是一种用于处理一组有向线段的数据结构，主要用于解决区间重叠等问题。间隔树可以用来查找重叠的线段、找到包含给定点或线段的线段、找到相交的线段等。

GNU 树

GNU 树是一种可扩展、高效且功能强大的数据结构，它被广泛应用于 C++ 标准库中的各种容器和算法中。GNU 树有很多种形式，包括红黑树、2-3-4 树等，这些树都是基于 B 树的变体或扩展。

GNU 树有很多优点，例如它们的节点通常是平衡的，操作的时间复杂度保持在对数级别，并且在插入、删除数据时自动重平衡。此外，GNU 树在空间使用方面也很高效，因为它们的节点通常比其他平衡树节点更小。

基于 GNU 树的间隔树

基于 GNU 树的容器的间隔树使用了 GNU 树的一些基本特性，比如它使用 GNU 树的节点创建线段树。它还使用 GNU 树的节点来存储线段的端点，因此每个节点都包含两个值：一个起点和一个终点。

下面是一个 C++ 实现的例子：

#include <iostream>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>

using namespace __gnu_pbds;
using namespace std;

#define endl '\n'

template<typename T>
using ordered_set = tree<T, null_type, less<T>, rb_tree_tag,
                        tree_order_statistics_node_update>;

struct Segment {
    int x1, x2, y;
};

int main() {
    ordered_set<Segment> xs;
    ordered_set<int> ys;

    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x1, x2, y;
        cin >> x1 >> x2 >> y;
        xs.insert({x1, x2, y});
        ys.insert(y);
    }

    int q;
    cin >> q;
    for (int i = 0; i < q; i++) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;

        auto it1 = xs.lower_bound({x, 0, 0});
        auto it2 = ys.lower_bound(y);

        bool found = false;
        for (; it1 != xs.end(); it1++) {
            auto seg = *it1;
            if (seg.y > y) {
                break;
            }
            if (x >= seg.x1 && x <= seg.x2) {
                found = true;
                break;
            }
        }

        int cnt = ys.order_of_key(*it2);
        if (!found) {
            cnt++;
        }

        cout << cnt << endl;
    }

    return 0;
}

在这个实现中，我们创建了两个基于 GNU 树的容器，一个是线段树 xs，另一个是 y 坐标的容器 ys。

接下来我们读入 n 条线段，并将它们插入到 xs 和 ys 中。然后我们读入 q 个查询，对于每个查询我们像普通的线段查询一样在 xs 中查找是否存在包含查询点 (x, y) 的线段。如果找不到，则在 ys 中查找 y 坐标小于查询点 y 坐标的所有元素，并返回元素的个数，否则返回 y 坐标小于查询点 y 坐标的元素个数。

总结

基于 GNU 树的容器的间隔树是一种高效、可扩展且功能强大的数据结构，它可以用于解决多种重叠线段的问题。如果你想了解更多关于间隔树和 GNU 树的知识，可以参考相关的文献和资料。