国际象棋骑士移动键盘计数

国际象棋中的骑士可以走"日"字形路线，即先向上2格再向右1格或向上2格再向左1格，或先向右2格再向上1格或向右2格再向下1格，或先向下2格再向右1格或向下2格再向左1格，或先向左2格再向上1格或向左2格再向下1格。如果在键盘上模拟国际象棋中的骑士移动，骑士在键盘上移动N步后可以形成多少不同的数字？

程序实现

下面是 Python 代码的实现。

def knight_dialer(N: int) -> int:
    # defined the chess board as a tree
    #         1 -> 2 -> 3
    #         ^    |    v
    #         4 <- 5 <- 6
    #              |
    #         7 -> 8 -> 9
    #              v    ^
    #             10 <- 11 <- 12
    digits_map = {
        1: [6, 8],
        2: [7, 9],
        3: [4, 8],
        4: [3, 9, 0],
        5: [], # in this problem, 5 is not a valid number
        6: [1, 7, 0],
        7: [2, 6],
        8: [1, 3],
        9: [2, 4],
        0: [4, 6]
    }

    # initialize the counter
    count = [1] * 10

    # iterate N times
    for _ in range(N-1):
        # create a new counter list for each iteration
        new_count = [0] * 10
        for i in range(10):
            # the counter for each number is the sum
            # of the counters of all the possible previous numbers
            for j in digits_map[i]:
                new_count[i] += count[j]
        # update the counter for each iteration
        count, new_count = new_count, count

    # sum all the counts and return the result
    return sum(count) % (10**9 + 7)

分析

本问题是一个动态规划问题。用一个字典 digits_map 表示每个数字所对应的可能的前面数字， 用一个列表 count（初始值都为 1） 记录每种数字的次数。 迭代 N-1 次，每次都根据 digits_map 计算出每个数字可以由多少个前面的数字转移来，以这个数字的计数为值来更新 new_count 列表，最后更新 count 列表，将 count 列表中的所有数字的次数加起来，即为答案。

总结

这个 problem 要求的是根据国际象棋骑士的移动规则在键盘上移动，形成的不同数字的计数。

这个问题与动态规划的经典问题类似，可以用一个字典表示状态转移，更新存储了这种状态的记录，得到最终结果。