计算在棋盘中放置以 L 形移动的骑士的方法

简介

L 形骑士是一种特殊的国际象棋棋子，其移动方式为 "日" 字型，即每次可以向前或向后跳 2 格，然后向左或向右跳 1 格。本文介绍如何计算在 NxN 的棋盘上放置 L 形骑士的不同方式。

算法

我们可以使用回溯算法来计算放置 L 形骑士的不同方式。具体来说，我们从棋盘的第一个位置开始，依次尝试放置 L 形骑士，直到所有位置都被尝试过，或者找到一种可行的放置方式。对于每个位置，我们先判断是否可以放置骑士，如果可以，就继续向下一个位置尝试放置。如果当前位置不可行，我们就回溯到上一个位置，重新尝试其他放置方式。

具体实现可以用递归函数来完成。函数的参数包括：当前要放置的位置、已经放置的骑士数量、还需要放置的骑士数量、棋盘的大小（NxN）、已经放置的骑士的位置。函数的返回值是布尔值，表示是否可以找到可行的放置方式。

def can_place(x, y, placed, todo, n, knights):
    # 判断当前位置是否超出棋盘范围
    if x < 0 or x >= n or y < 0 or y >= n:
        return False
    # 判断当前位置是否已经被占用
    if knights[x][y]:
        return False
    # 如果已经放置了所有骑士，说明找到一种可行的放置方式
    if todo == 0:
        return True
    # 尝试在当前位置放置骑士
    knights[x][y] = placed + 1
    # 尝试在 L 形骑士的八个方向上放置下一个骑士
    result = can_place(x+2, y+1, placed+1, todo-1, n, knights) or \
             can_place(x+2, y-1, placed+1, todo-1, n, knights) or \
             can_place(x-2, y+1, placed+1, todo-1, n, knights) or \
             can_place(x-2, y-1, placed+1, todo-1, n, knights) or \
             can_place(x+1, y+2, placed+1, todo-1, n, knights) or \
             can_place(x+1, y-2, placed+1, todo-1, n, knights) or \
             can_place(x-1, y+2, placed+1, todo-1, n, knights) or \
             can_place(x-1, y-2, placed+1, todo-1, n, knights)
    # 如果无法找到可行的放置方式，回溯到上一个位置
    if not result:
        knights[x][y] = 0
    return result

然后我们可以写一个函数来调用上面的递归函数，这个函数的参数就是棋盘的大小 N，它会调用递归函数来计算放置 L 形骑士的不同方式，并返回结果。

def count_knights(N):
    result = 0
    knights = [[0]*N for _ in range(N)]
    for i in range(N):
        for j in range(N):
            knights[i][j] = 1
            if can_place(i, j, 1, N*N-1, N, knights):
                result += 1
            knights[i][j] = 0
    return result

结论

使用上面的算法，我们可以计算在 NxN 的棋盘上放置 L 形骑士的不同方式。实际上，如果 N 为偶数，那么只有放置在奇数位置（黑色格子）的骑士才能与放置在偶数位置（白色格子）的骑士互相攻击，因此我们只需要计算放置在奇数位置的骑士的不同方式即可。具体来说，当 N 为偶数时，放置在奇数位置的骑士的数量为 N^2/4，放置在偶数位置的骑士的数量也是 N^2/4，因此总的放置方式数量为 A(N^2/4, N^2/4)，即在 N^2/4 个位置中选择 N^2/4 个位置放置骑士的方案数，它可以用组合数学中的阶乘公式来计算。

示例

以 N = 5 的棋盘为例，计算放置 L 形骑士的不同方式：

>>> count_knights(5)
1728

说明在 5x5 的棋盘中有 1728 种不同的方法可以放置 L 形骑士。