门| Sudo GATE 2021的测验|问题21

Sudo GATE 2021是印度暨南大学博士入学考试的一部分，其中有一道编程问题称为“门”问题，是一个较复杂的问题，需要综合运用多种编程技术才能得出正确的答案。本文将介绍这道题目的背景和要求，以及解决这道问题的思路和代码。

问题背景

门问题的背景是一个类似于拼图的游戏，有一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，矩阵中的每一个元素为 $0$ 或 $1$，每个 $1$ 元素都表示矩阵中的一扇门，玩家需要通过操作矩阵中的门来使得一个目标元素到达指定位置。

具体而言，玩家可以进入或离开任意一个门（$1$ 元素），进入或离开门需要消耗一定的代价，每个门有不同的进入和离开代价。在进入一个门时，如果该门是新的门，需要消耗一个额外的代价作为“钥匙”，然后才能进入该门。玩家可以在从一个门出来后进入另一个门，此时进入新门不需要额外的代价。

玩家需要把目标元素从其当前位置移动到指定的位置，需要在不超过特定的代价限制的情况下尽可能快地完成任务。

要求

给定矩阵中的门、代价和目标元素的位置，编写函数 shortest_path(m, n, start_x, start_y, dest_x, dest_y, keys, doors)，其中：

• $m$ 表示矩阵的行数
• $n$ 表示矩阵的列数
• $(start_x, start_y)$ 表示目标元素的起始位置
• $(dest_x, dest_y)$ 表示目标元素的目标位置
• keys 是一个 $1\times 26$ 的列表，表示每个小写字母的钥匙的代价（0 或正整数），$keys[i]$ 表示第 $i$ 个钥匙的代价，小写字母 a 到 z 对应下标 0 到 25
• doors 是一个 $1\times 26$ 的列表，表示每个小写字母的门的代价（0 或正整数），$doors[i]$ 表示第 $i$ 个门的代价，小写字母 a 到 z 对应下标 0 到 25。如果一个门没有对应的钥匙，则其代价为 -1。

函数需要返回目标元素从起始位置到目标位置的最小代价，如果无法到达目标位置，则返回 $-1$。

思路

解决门问题的思路可以分为以下几步：

1. 定义数据结构：定义矩阵、门、钥匙、代价等数据结构，方便后续的运算和处理。
2. 生成邻接矩阵：将每个门和钥匙作为顶点，构建邻接矩阵，用来表示顶点之间的关系。
3. 深度优先搜索：从起始位置出发，利用深度优先搜索算法，寻找到目标位置的最短路径。在搜索时需要记录当前位置、已获得的钥匙、代价等信息，以便在后续搜索时进行更新。

对于生成邻接矩阵的过程，可以定义一个函数 get_adjacency_matrix(m, n, doors, keys)，该函数返回一个邻接矩阵，其中顶点分别为门和钥匙，矩阵中的每个元素为代价或无穷大。

对于深度优先搜索部分的实现，可以定义一个递归函数 dfs(x, y, keys_collected, cost)，该函数表示在位置 $(x, y)$ 时已经获得了钥匙 keys_collected，已经消耗了代价 cost。在搜索时需要注意如下事项：

• 如果到达目标位置，则返回当前代价；
• 如果代价已经超过限制，则返回无穷大；
• 如果当前位置是门，需要判断是否有对应的钥匙，如果没有，返回无穷大；
• 如果当前位置是钥匙，需要更新已获得的钥匙列表，并更新当前代价；
• 如果当前位置可达的下一个位置有多个，需要备选方案选择最终代价;

最终， shortest_path() 函数的主要逻辑就是先调用 get_adjacency_matrix() 得到邻接矩阵，然后调用 dfs() 函数，得到最短路径的代价。

代码

生成邻接矩阵：

def get_adjacency_matrix(m, n, doors, keys):
    graph = {'@': {}}
    for i in range(26):
        if doors[i] != -1:
            graph[chr(ord('A')+i)] = {}
        if keys[i] != 0:
            graph[chr(ord('a')+i)] = {}
    for i in range(1, m-1):
        for j in range(1, n-1):
            c = s[i][j]
            if c == '@' or c == '.':
                continue
            if c >= 'A' and c <= 'Z':
                door_cost = doors[ord(c)-ord('A')]
                graph[c][c.lower()] = door_cost
                graph[c.lower()][c] = door_cost
            elif c >= 'a' and c <= 'z':
                key_cost = keys[ord(c)-ord('a')]
                graph[c][c.upper()] = key_cost
                graph[c.upper()][c] = key_cost
            if s[i-1][j] != '#':
                graph[c][s[i-1][j]] = 1
            if s[i][j-1] != '#':
                graph[c][s[i][j-1]] = 1
            if s[i+1][j] != '#':
                graph[c][s[i+1][j]] = 1
            if s[i][j+1] != '#':
                graph[c][s[i][j+1]] = 1
    return graph

深度优先搜索：

def dfs(x, y, keys_collected, cost):
    global ans, dx, dy, graph, dest_x, dest_y, vis

    if cost >= ans or cost > 5000:
        return

    if x == dest_x and y == dest_y:
        ans = cost
        return

    if s[x][y] >= 'a' and s[x][y] <= 'z':
        key = ord(s[x][y])-ord('a')
        keys_collected.add(key)
        cost += keys[key]
    elif s[x][y] >= 'A' and s[x][y] <= 'Z':
        key = ord(s[x][y])-ord('A')
        if key not in keys_collected:
            return

    for k in range(4):
        nx = x+dx[k]
        ny = y+dy[k]
        sval = s[nx][ny]

        if sval == '#' or vis[nx][ny]:
            continue

        vis[nx][ny] = True

        if sval >= 'A' and sval <= 'Z' and ord(sval)-ord('A') not in keys_collected:
            continue

        dfs(nx, ny, keys_collected, cost+is_gate(sval))

        vis[nx][ny] = False

主函数：

def shortest_path(m, n, start_x, start_y, dest_x, dest_y, keys, doors):
    global s, ans, dx, dy, graph, vis

    s = ['\0'*(n+2)]
    for i in range(m):
        s.append('\0'+input()+'\0')
    s.append('\0'*(n+2))

    ans = float('inf')
    dx = [-1, 0, 1, 0]
    dy = [0, -1, 0, 1]
    graph = get_adjacency_matrix(m, n, doors, keys)
    vis = [[False]*(n+2) for i in range(m+2)]
    vis[start_x][start_y] = True

    dfs(start_x, start_y, set(), 0)

    return ans if ans < float('inf') else -1

总结

门问题是一道比较复杂的算法题目，需要熟练掌握邻接矩阵、深度优先搜索等算法才能解决。通过本文的介绍，相信读者对于这道题目并不陌生了。最后，值得一提的是，对于算法题目的解题，除了充分的理论基础外，编程能力也是不可或缺的，特别是对于一道需要多次调试和修改的问题。因此，作为程序员，不仅需要深入理解算法原理，还需要具备实际操作的能力，这样才能在解决复杂问题时更加得心应手。