计算在矩阵中达到给定分数的方法数

问题描述

在给定矩阵中，从左上角出发，每次向右走或向下走，直到到达右下角。沿途经过的数字相加即为得分。现在给定一个分数s，计算在矩阵中达到分数s的方法数。

解决方案

此问题可以使用动态规划来解决。定义状态dp[i][j]为从(0, 0)到(i, j)的所有路径中，总得分恰好为s的路径数。那么状态转移方程为：

如果 s - a[i][j] >= 0，则 dp[i][j] += dp[i-1][j] + dp[i][j-1] 否则，dp[i][j] = 0

其中，a[i][j]表示矩阵中第i行第j列的元素。

代码如下：

def count_paths(matrix, score):
    rows = len(matrix)
    cols = len(matrix[0])
    dp = [[0] * cols for _ in range(rows)]
    dp[0][0] = 1
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            if score - matrix[i][j] >= 0:
                if i > 0:
                    dp[i][j] += dp[i-1][j]
                if j > 0:
                    dp[i][j] += dp[i][j-1]
            else:
                dp[i][j] = 0
    return dp[rows-1][cols-1]

时间复杂度为O(n^2)，其中n为矩阵的行数和列数。

总结

本文介绍了如何使用动态规划来解决在矩阵中达到给定分数的方法数问题。该算法的时间复杂度为O(n^2)，可以很好地处理小规模问题。而当矩阵很大时，可以使用滚动数组来进行优化，以空间换时间，降低空间复杂度。