QA – 安置测验| SP 大赛 2 |问题 6

本次SP大赛的问题6是一个关于安置测验的问题，需要编写程序来判断一个给定的安置测验矩阵是否合法。安置测验是一种常见的实验设计方法，通常用于研究不同变量对一个观测值的影响。在这个矩阵中，每一行代表一个试验，每一列代表一个变量，矩阵中的每个元素表示该试验在该变量下的取值，一般为离散值。一个安置测验是合法的，当且仅当每两行之间有至少一个变量的取值不同。

编写程序的主要思路是遍历矩阵的所有行，对于每一行，再遍历该行之后的所有行，比较它们在每一列上的取值，如果找到了至少一个列的取值不同，就说明这两行之间有不同，可以退出循环。如果对于所有的行都没有找到不同的列，就说明矩阵合法，返回True，否则返回False。

以下是简单的Python代码实现：

def is_valid_matrix(matrix):
    for i in range(len(matrix)):
        for j in range(i + 1, len(matrix)):
            for k in range(len(matrix[i])):
                if matrix[i][k] != matrix[j][k]:
                    break
            else:
                return False
    return True

此外，还可以使用NumPy库中的unique函数和broadcast机制来实现高效的矩阵比较，具体实现方式可以参考以下代码：

import numpy as np

def is_valid_matrix_np(matrix):
    n, m = matrix.shape  # 矩阵的行数和列数
    diff = (matrix[:, :, None] != matrix[:, None, :])  # 利用broadcast机制计算矩阵各行之间的元素差异
    return np.all(np.any(diff, axis=(0, 2)))  # 检查是否存在任意两行之间的差异

以上两种方法的时间复杂度都为$O(n^3)$，其中$n$为矩阵的行数，对于非常大的矩阵可能会有性能问题，可以考虑使用更高效的算法或优化方案。