构造不包含特定三元组的数组

在本题中，要求构造一个长度为 $N$ 的数组，使得其中不包含三元组 $(i,j,k)$，其中 $i<j<k$ 且 $a_i+a_j=2a_k$。

解法

首先可以考虑最简单的暴力构造方法，即枚举所有 $N$ 个数，每次检查是否满足题目中给出的限制。但是这种方法的时间复杂度为 $O(N^3)$，显然对于大规模的 $N$ 值来说不可接受。

因此可以考虑别的构造方法。注意到对于两个数 $a_i$ 和 $a_j$，它们的和一定是偶数，因此 $a_k$ 必须是偶数。

又因为 $a_i<a_j<a_k$，因此可以考虑先固定 $a_j$ 和 $a_k$，然后在 $a_1$ 到 $a_{j-1}$ 中找到一个数 $a_i$，使得 $a_i+a_j=2a_k$。注意到 $a_j$ 和 $a_k$ 的值是可以依次枚举的，因此可以用动态规划的方法，依次求出前 $N$ 个符合条件的数。时间复杂度为 $O(N^2)$。

以下是 Python 代码片段实现：

N = 100 # 数组长度
dp = [0] * N # 到位置 i 为止最小的不符合条件的 a 值
ans = [0] * N # 答案数组
j, k = 1, 2 # 固定 j 和 k
for i in range(1, N):
    while dp[j] != 0 or 2 * ans[i-1] - ans[j] >= ans[i-1] + ans[k]:
        j += 1
    while dp[k] != 0 or ans[i-1] + ans[j] > 2 * ans[k]:
        k += 1
    ans[i] = ans[i-1] + ans[j] == 2 * ans[k] and ans[k] or ans[i-1] + 2
    dp[i] = ans[i] == ans[i-1] and dp[i-1] or i # 标记不符合条件的位置