构造一个没有三元组的前N个自然数数组

背景

在数学中，如果一个集合不包含三元组$(i,j,k)$，满足$i<j<k$且$a_i+a_j=2a_k$，那么这个集合被称为没有三元组的集合。 本文将介绍如何在编程中构造这样一个集合。

思路

对于一个自然数$N$，假设我们已经构造了一个没有三元组的集合$S(N-1)$，那么如何构造一个没有三元组的集合$S(N)$？

要构造$S(N)$，我们可以考虑在$S(N-1)$中加入一个新的数$a_N$。由于我们要保证$S(N)$没有三元组，因此我们需要让$a_N$满足以下两个条件：

1. 对于任意的$a_i+a_j=2a_k$，有$i \neq N$且$j \neq N$且$k \neq N$。
2. 对于任意的$a_i+a_N=2a_j$，有$i \neq j$。

显然，第一个条件意味着在$S(N-1)$中不存在任何三元组$(i,j,N)$，第二个条件需要我们保证$N$与$S(N-1)$中每个数都不能组成三元组。我们可以通过以下两个步骤来构造$S(N)$：

1. 首先在$S(N-1)$中找到一个最小的正整数$d$，使得$d$与$S(N-1)$中的每个数都互质。这是因为如果$d$不与$S(N-1)$中的某个数互质，那么这两个数加起来必定是偶数，而且它们的和一定能被2整除。因此，根据$d$和$S(N-1)$中的数的奇偶性，必然存在一个三元组$(i,j,N)$。
2. 然后令$a_N = d+1$，这样就能通过枚举相加的两个数来检查是否存在三元组$(i,j,N)$。

代码实现

def construct_set_without_triplets(N):
    S = [1]
    for i in range(2, N+1):
        d = 1
        while any(i % j == 0 for j in S) or any((i+j) % 2 == 1 for j in S):
            d += 1
            while any(d % j == 0 for j in S):
                d += 1
        S.append(d)
    return S

以上是一个Python代码实现。在实现中，我们首先将1添加到集合中，然后逐一添加自然数$2,3,...,N$。在每次添加自然数时，我们都要找到一个与$S(N-1)$中的每个数都互质的最小的正整数$d$。我们使用两个嵌套的while循环来寻找$d$，并在寻找过程中检查当前数与$S(N-1)$中的数是否存在三元组，并保证新加入的数与$S(N-1)$中每个数都不能组成三元组。

结论

通过以上方法，我们可以构造出没有三元组的前$N$个自然数数组。虽然构造方法比较简单，但它却是一个比较有用的数学问题。有些算法问题恰恰可以通过构造一个没有三元组的集合来解决。例如，可以使用没有三元组的集合求解Goldbach猜想的等式$2n=p+q$的证明。