从1到N合并数字的最低成本

问题描述

给定一个长度为N的整数数组，每次合并两个数字要花费这两个数字的和的代价，同时将合并后的数字插入到数组中，求将数组中所有数字合并成一个数字的最小代价。

解决方案

这是一个经典的动态规划问题，可以采用自底向上的思路进行求解。我们先定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示合并区间[i,j]内的数字所需的最小代价。

对于每个状态，有以下几种情况需要考虑：

1. 区间长度为1，此时不需要合并，代价为0，即dp[i][i]=0。
2. 区间长度大于1，假设区间[i,j]可以分成两个区间[i,k]和[k+1,j]，其中k是i到j之间的任意数，那么此时的代价为dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j]，其中sum[i][j]表示区间[i,j]内的数字和。因为i<=j，所以可以借助前缀和数组快速计算sum[i][j]。
3. 区间长度大于1，但是只有两个数字需要合并，此时的代价为nums[i]+nums[j]。

综上所述，可以得到状态转移方程：

dp[i][j] = 0, (i=j)
dp[i][j] = nums[i]+nums[j], (j=i+1)
dp[i][j] = min(dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j]), (i<=k<j)

最终的答案为dp[1][N]，即合并数组nums的最小代价。

代码实现如下：

def mergeCost(nums):
    n = len(nums)
    dp = [[0]*n for _ in range(n)]
    preSum = [0]
    for i in range(n):
        preSum.append(preSum[-1]+nums[i])
    for L in range(2, n+1):
        for i in range(n-L+1):
            j = i+L-1
            dp[i][j] = float("inf")
            for k in range(i, j):
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k+1][j]+preSum[j+1]-preSum[i])
            if L == 2:
                dp[i][j] = nums[i]+nums[j]
    return dp[0][n-1]

性能分析

时间复杂度：O(n^3) 空间复杂度：O(n^2)

总结

本题是一道动态规划的经典问题，考察了动态规划的核心思想——将大问题分解成小问题，并且采用自底向上的方式进行求解。需要注意的是，在计算sum数组的时候，需要添加一个零到前缀和数组preSum的开头，这样才能计算区间和的时候用O(1)的时间复杂度进行查询。