合并数字从 1 到 N 的最小成本

背景

有一个整数序列 $1, 2, ..., N$。我们希望将它们合并成一个数，合并方式是每次将两个数相加，每次合并的成本是两个数的和。求合并的最小成本。

解法

我们可以使用动态规划来解决这个问题。

设 $f_{i,j}$ 表示将 $i, i+1, ..., j$ 这些数合并成一个数的最小成本。

显然，$f_{i,i}=0$。我们考虑如何计算 $f_{i,j}$。我们可以枚举最后一步合并的两个数的位置，即枚举 $k \in [i, j-1]$，那么这次合并的成本为 $sum(i,j)+f_{i,k}+f_{k+1,j}$，其中 $sum(i,j)$ 表示从 $i$ 到 $j$ 的所有数的和。我们需要找到一个 $k$ 使得上式最小。

因此，我们可以得到状态转移方程： $$ f_{i,j}=\begin{cases} 0 & i=j \ \min_{i \le k < j}{f_{i,k}+f_{k+1,j}+sum(i,j)} & i<j \end{cases} $$

最终的答案为 $f_{1,N}$。

代码实现

def merge_cost(n):
    s = [0] * (n + 1) # 前缀和数组
    f = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)] # 状态数组

    for i in range(1, n + 1):
        s[i] = s[i - 1] + i
    
    for len_ in range(2, n + 1):
        for i in range(1, n - len_ + 2):
            j = i + len_ - 1
            f[i][j] = min(f[i][k] + f[k + 1][j] + s[j] - s[i - 1] for k in range(i, j))
    
    return f[1][n]

总结

这里给出了使用动态规划解决合并数字的最小成本问题的算法和代码。相信读者可以根据这个思路解决其他类似的问题。