生成从1到Nth的质数的新算法

在计算机科学领域，生成质数是一个非常基础的问题。本篇文章介绍一种新的算法，用于生成从1到Nth的质数。该算法基于“筛法”，但对于较大的数据集合更加高效。

简介

在传统的筛法算法中，我们首先创建一个长度为N的布尔类型数组，然后迭代遍历每个数字，并将其倍数标记为非质数。最后，我们将未标记的数字都认为是质数。这样的算法看起来非常简单，但是当N很大时，该算法的效率会急剧下降，主要因为存储大量未标记的数字所需的内存。

而本算法使用的是一种类似于懒加载的方式，使用一个名为“筛子”（Sieve）的数据结构存储数字的状态并计算下一个质数。当需要更多的质数时，“筛子”被动态地扩展。该算法的空间复杂度是O（NloglogN），时间复杂度是O（NloglogN）。

算法实现

以下是这种算法的Python实现：

def primes_sieve(n):
    # 初始化筛子
    sieve = [True] * (n + 1)
    # 生成第一个质数
    prime = 2
    # 不断生成下一个质数直到n
    while prime <= n:
        yield prime
        # 将所有prime的倍数标记为false
        for i in range(prime, n + 1, prime):
            sieve[i] = False
        # 计算下一个质数
        prime += 1
        while prime <= n and not sieve[prime]:
            prime += 1

# 输出1到100的质数
print(list(primes_sieve(100)))

算法解析

该算法初始化一个包含n个布尔类型值（True或False）的数组，该数组表示我们是否已经计算了该数字是否为质数。数组中的第i个布尔值表示i数字是否为质数。在开始时，我们将该数组中的所有值都初始化为True，表示我们认为所有数字都是质数。

该算法使用一个名为“prime”的变量，表示当前为质数的数字。初始时设为2。在第一个循环中，我们会计算一个质数，并将该质数标记为已计算。“prime”之后的数字都会被该质数整除，因此我们将它们都标记为非质数。

在第二个循环中，我们计算下一个质数。我们将“prime”加1，并检查下一个数字是否为质数。如果不是，我们继续检查“prime”的下一个数字。如果找到了另一个质数，我们将其返回并再次标记该质数的倍数为非质数。重复此步骤，直到我们找到了所有小于或等于n的质数。