在[L, R]范围内评估给定方程的查询

有时候在算法竞赛中，需要快速地查询一个方程在某一区间内的值。例如在计算累加和或者求和公式中。

以下是一些实现这个功能的方法和实现。

方法一：Brute Force

最简单的方法是直接按照定义算出[L,R]区间内方程的值，并将其作为查询结果返回。这种方法的时间复杂度为O(R-L)。

for (int i = L; i <= R; i++) {
    int val = f(i);
    // 处理方程的值
}

方法二：前缀和

如果方程是求和公式，我们可以使用前缀和来优化查询时间。前缀和的时间复杂度为O(N)，其中N为数组的长度。

vector<int> prefix_sum(N);
prefix_sum[0] = f(0);
for (int i = 1; i < N; i++) {
    prefix_sum[i] = prefix_sum[i-1] + f(i);
}
int res = prefix_sum[R] - prefix_sum[L-1]; // 查询[L,R]区间

方法三：线段树

对于普通的方程，我们可以使用线段树来优化查询时间。线段树能够将对区间内所有的数按照一定的方式进行组织，从而提高查询效率。线段树 的时间复杂度为O(logN)，其中N为数组的长度。

void build(int p, int l, int r) {
    if (l == r) {
        tree[p] = f(l);
    } else {
        int mid = (l + r) / 2;
        build(p*2, l, mid);
        build(p*2+1, mid+1, r);
        tree[p] = tree[p*2] + tree[p*2+1]; // 节点的值为区间和
    }
}

int query(int p, int l, int r, int L, int R) {
    if (l > R || r < L) {
        return 0;
    } else if (L <= l && r <= R) {
        return tree[p];
    } else {
        int mid = (l + r) / 2;
        int sum_left = query(p*2, l, mid, L, R);
        int sum_right = query(p*2+1, mid+1, r, L, R);
        return sum_left + sum_right;
    }
}

build(1, 0, N-1);
int res = query(1, 0, N-1, L, R); // 查询[L,R]区间

方法四：树状数组

树状数组是另一种优化查询的数据结构。它支持单点修改、区间查询的操作，时间复杂度为O(logN)。

void add(int x, int k) {
    for (; x < N; x += lowbit(x)) {
        bit[x] += k;
    }
}

int sum(int x) {
    int res = 0;
    for (; x > 0; x -= lowbit(x)) {
        res += bit[x];
    }
    return res;
}

for (int i = 0; i < N; i++) {
    add(i+1, f(i)); // 将序列中的每个数字插入到树状数组中
}
int res = sum(R) - sum(L-1); // 查询[L,R]区间

以上是常用的方法，根据具体场景选择适合的方法能够更有效地解决问题。