圆方程

在几何中，圆也可以扩展形式表示。这是以标准形式扩展二项式平方并合并类似项的结果。为了找到圆的方程，我们使用距离公式。

在本节中，我们将学习圆方程的标准形式和一般形式，并在此基础上解决一些问题。

圆方程有两种形式：

• 标准格式
• 一般形式

标准格式

如果圆的方程式为标准形式，则可以轻松找到圆的中心(h，k)和圆的半径。圆的标准方程为：

其中(h，k)是中心的坐标， r是圆的半径。请记住，r的值始终为正。

让我们看一些基于标准格式的示例。

示例1：从给定的方程中找出圆的半径和中心。另外，绘制图形。

(x-2) ² +(y-3) ² = 4

解：

给定方程为(x-2) ² +(y-3) ² = 4 。

请记住：如果减号在(h，k)之前，则(h，k)将为正。

将给定的方程式与标准形式进行比较，我们得到：

h = 2，k = 3和r ² = 4
R =√4 = 2

现在，我们可以在半径为r = 2且中心为(2，3)的方格纸上绘制圆。

示例2：从给定的方程式中找出圆的半径和中心。另外，绘制图形。

2x ² + 2y ² = 8

解：

给定方程为2x ² + 2y ² = 8

上面的公式与标准格式不匹配。因此，首先，我们将方程除以2，以标准形式转换方程。

解决上面的方程，我们得到：

x ² + y ² = 4

我们可以将上面的等式写成：

(x-0) ² +(y-0) ² = 4

将上面的方程式与标准形式进行比较，我们得到：

h = 0，k = 0且r ² = 4
R =√4 = 2

现在，我们可以在半径为r = 2且中心为(0，0)的方格纸上绘制圆。

示例3：从给定的方程式中找出圆的半径和中心。

(x-4) ² +(y + 5) ² = 81

解：

给定方程为(x-4) ² +(y + 5) ² = 81 。

将给定的方程式与标准形式进行比较，我们得到：

h = 4，k = -5

我们看到y坐标为负。通常，y项是(yk) ² 。我们给出了(y + 5)，因此k必须为负。我们也可以将其写为：(y-(-5)) ² 。因此，y坐标为负。

因此，中心的坐标为(4，-5)，圆的半径为9。

r ² = 81
R =√81 = 9

示例4：圆的半径为25厘米，中心坐标为(-2，6)。写出圆的方程。

解：

给定半径(r)= 25厘米

中心坐标(h，k)=(-2，6)

[x-(-2)) ² +(y-6) ² = 25
(x + 2) ² +(y-6) ² = 25

因此，圆的方程为(x + 2) ² +(y-6) ² = 25。

示例5：写出下面给出的圆的方程。

解：

在给定的图中，中心坐标(h，k)为(0，0)，半径(r)为4。因此，圆的方程为：

x ² + y ² = 16

一般形式

方程的一般形式是标准方程的扩展形式。我们知道圆的标准方程式：

(xh) ² +(yk) ² = r ² …………(1)

扩展等式(1)，我们得到：

x ² + h ² -2hx + y ² + k ² -2ky = r ²

重新排列上面的等式，我们得到：

x ² + y ² -2hx-2ky + h ² + k ² = r ²
x ² + y ² -2xh-2yk + h ² + k ² -r ² = 0…………(2)

用以下值替换h，k和r的值，我们得到：

h = -g，k = -f，c = h ² + k ² -r ²

将这些值放在等式(2)中，我们得到：

x ² + y ² -2x(-g)-2y(-f)+ c = 0

其中(-g，-f)为圆心，半径(r)为√g ² + f ² -c ² 。

其中g，f和c为常数。

我们可以进一步用D，E和F分别替换2g，2f和c值。

其中D，E和F为常数。

注意

• 如果g ² + f ² -c ² > 0的值，则圆的半径为实数，等式表示实数
• 如果g ² + f ² -c ² = 0的值，则圆的半径也变为0。在特定情况下，圆减小到点(-g，-f)，并且该圆称为点圆。
• 如果g ² + f ² -c ² <0的值，则圆的半径变为虚数。但是圆圈不是虚构的，而是真实的。这种类型的圆称为假想圆。

让我们基于通用形式来解决一些示例。

示例6：从给定方程中找到圆的中心坐标和半径。

4x ² + 4y ² -16x + 24y-36 = 0

解：

给定的方程为4x ² + 4y ² -16x + 24y-36 = 0 。

首先，我们将整个方程除以4，得到：

重新排列上面的等式，我们得到：

x ² -4x + y ² + 6y = 9……(1)

现在我们将分别找到g和f的值。

我们知道，

在上式中，x的系数为-4。因此，

同样，我们将找到f的值。我们知道，

在上式中，y的系数为6。因此，

注意：我们将g2和f2的值添加到方程式的两侧。

将g和f的值放在等式(1)中，我们得到：

(x ² -4x + 4)+(y ² + 6y + 9)= 9 + 4 + 9
(x-2) ² +(y + 3) ² = 22

将上面的方程式与标准形式进行比较，我们得到圆的中心和圆的半径。

h = 2，k = -3和r ² = 22
R =√22 = 4.7

因此，圆心为(2，-3)，半径为4.7。

示例7：从给定的方程中找到圆的中心和半径。

x ² + y ² + 2x + 4y-9 = 0

解：

给定的等式为： x ² + y ² + 2x + 4y-9 = 0 。

重新排列上面的等式，我们得到：

x ² + y ² + 2x + 4y = 9
x ² + 2x + y ² + 4y = 9……(1)

现在我们将分别找到g和f的值。

我们知道，

在上式中，x的系数为2。因此，

同样，我们将找到f的值。我们知道，

在上式中，y的系数为4。因此，

注意：我们将g2和f2的值添加到方程式的两侧。

将g和f的值放在等式(1)中，我们得到：

(x ² + 2x + 1)+(y ² + 4y + 4)= 9 + 1 + 4
(x + 1) ² +(y + 2) ² = 14

将上面的方程式与标准形式进行比较，我们得到圆的中心和圆的半径。

h = -1，k = -2和r ² = 14
R =√14 = 3.8

因此，圆心为(-1，-2)，半径为3.8。