用k个设置位最大化一个数字所需的最小翻转

在计算机科学中，位运算是一种十分重要的基础操作。本文将介绍如何用位运算来解决一个非常有趣的问题：如何用k次翻转最少位数，来使一个数字尽可能大。

问题描述

输入一个十进制数num以及一个整数k，你的任务是最多进行k次“翻转操作”，使得num在“翻转”操作之后最大化。

翻转操作的定义如下：选择数num的任意一个二进制位（从右往左数第 i 位），翻转它的值（即将 0 变为 1，将 1 变为 0）。例如，给定 num = 110011 ，第 3 位为 0，则将它变为 110111。

必须保证输入的数字num不为0。

解决方案

要解决这个问题，显然需要了解二进制的相关知识。首先我们来思考一个简单的问题，如何将一个二进制数的某一位翻转？

假设有一个二进制数a=10110，要将第3位翻转，即将它变为1。可以使用位运算符 ^（异或）来完成：

a = 10110
a = a ^ (1 << 2)

其中，1 << 2 等价于 100，表示将数字 1 左移两位，得到一个只有第3位为1，其他位都为0的数字，然后将 a 和这个数字进行异或运算，即可完成第3位的翻转。

接下来我们思考如何通过一系列的翻转操作来最大化一个数字。假设一个数字为 110101，经过两次翻转操作，它可能变成下面的数中的任意一个：

111110 (将 2 和 5 位翻转)
110111 (将 2 和 4 位翻转)
101111 (将 3 和 5 位翻转)

但是怎么才能确保求得的数最大呢？一种非常直观的想法是，对于当前这个数，选择最高位为0的最右边一位（即最低位），如果这个最低位为0，则将它翻转为1，否则将向左移动一位，重复以上操作，直到这个最低位为0（第一个0的位置即为当前能够翻转的最低位）。如果进行了 k 次操作后，这个最低位仍然为1，则不进行任何操作。

通过上述操作可以得到一个“code”，就是一个 01 串，在只允许进行 k 次操作的情况下，这个 code 可以最大化原数，也就是说，我们需要找到一个“最大化”函数 f(x)，它可以输出一个 01 串，使得针对一个十进制数 num，若以 2 为底将 num 转换成一个二进制串 b，执行逆向的“code”操作之后的得到的新的二进制串 c，则将 c 转换成十进制之后的值最大。

由于十进制数转换为二进制数是简单的，因此只需要实现 f(x) 即可完成此问题。

接下来，我们需要考虑如何实现 f(x)。由于我们已经知道了一个数字的二进制表示，因此可以先将这个二进制串倒序，并找到第一个 0 的位置（从右往左数第 i 位）。然后，我们需要用 k 个翻转操作将后面的 i-1 个二进制位转换为 1，最后将第 i 位翻转为 1 即可。

代码实现如下（仅作示例，具体实现和变量名可能会有所不同）：

def get_max_num(num: int, k: int) -> int:
    bit_list = list(bin(num)[2:])[::-1]
    zero_pos = -1
    for i, bit in enumerate(bit_list):
        if bit == '0':
            zero_pos = i
            break
    if zero_pos == -1:
        zero_pos = len(bit_list)
    if zero_pos > k:
        for i in range(k):
            bit_list[i] = '1'
        return int(''.join(bit_list[::-1]), 2)
    else:
        for i in range(zero_pos):
            bit_list[i] = '1'
        left = k - zero_pos
        bit_list[zero_pos] = '1'
        i = zero_pos + 1
        while left > 0 and i < len(bit_list):
            if bit_list[i] == '0':
                bit_list[i] = '1'
                left -= 1
            i += 1
        return int(''.join(bit_list[::-1]), 2)

在上述代码中，我们先将 num 转换成二进制数，并将它的二进制串倒序。然后，遍历这个二进制串，找到第一个 0 的位置（从右往左数）。如果在允许的操作次数内可以将第一个 0 变成 1，则将它翻转，否则用剩余的操作次数将后面的所有位都翻转成 1，再将第一个 0 翻转成 1。最后，将得到的二进制串转换成十进制数并输出即可。

总结

本文介绍了如何通过位运算来解决一个很有趣的问题：如何用 k 次“翻转”操作来最大化一个数。首先我们需要了解如何用位运算来翻转一个二进制数某一位的值，然后我们通过找到一个数字的最低位，并将它翻转成 1，来完成这个问题。涉及到的位运算包括异或、左移和取反等，是计算机编程中非常基础的操作，也是应用非常广泛的技术。