将数组拆分为最少数量的非递增或非递减子数组

在编程中，经常会需要把一个数组拆分成多个子数组。本文将介绍如何将给定的数组拆分成最少数量的非递增或非递减子数组。

问题描述

给定一个整数数组，要求将其拆分成若干个非递增或非递减的子数组，并且要求子数组的数量最少。

解决方法

动态规划

本问题可以通过动态规划求解。

设 $dp[i]$ 表示以第 $i$ 个数结尾的最少非递增（或最少非递减）子数组的数量。则 $dp[i]=\min_{j=0}^{i-1}{dp[j]+1}$，其中 $j<i$ 且 $a[j]\geq a[i]$（或 $a[j]\leq a[i]$）。

根据上述状态转移方程，可以得出递归求解的代码：

def solve_dp(index, direction):
    if index == 0:
        return 1
    res = float('inf')
    for i in range(index):
        if (direction == 1 and a[i] <= a[index]) or (direction == -1 and a[i] >= a[index]):
            res = min(res, solve_dp(i, -direction) + 1)
    return res

其中 index 表示当前数的下标，direction 表示当前子数组的方向（1 表示递增，-1 表示递减）。

但是，上述代码具有重叠子问题，因此可以用备忘录优化，或者用递推的方式求解。

备忘录优化的代码如下：

def solve_dp_memo(index, direction):
    if index == 0:
        return 1
    if memo[index][direction] != -1:
        return memo[index][direction]
    res = float('inf')
    for i in range(index):
        if (direction == 1 and a[i] <= a[index]) or (direction == -1 and a[i] >= a[index]):
            res = min(res, solve_dp_memo(i, -direction) + 1)
    memo[index][direction] = res
    return res

其中 memo 是一个备忘录，表示对于某个下标和方向，已经求得的最少子数组数量。

递推的代码如下：

def solve_dp_iter():
    n = len(a)
    dp = [[0, 0] for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][0] = dp[i][1] = 1
        for j in range(i):
            if a[j] <= a[i]:
                dp[i][0] = max(dp[i][0], dp[j][0] + 1)
            if a[j] >= a[i]:
                dp[i][1] = max(dp[i][1], dp[j][1] + 1)
    return min(dp[n - 1][0], dp[n - 1][1])

贪心算法

上述动态规划的时间复杂度为 $O(n^2)$，如果数据规模较大，则会超时。此时可以考虑使用贪心算法。

设 $prev$ 为前一个数，$cnt$ 为当前子数组的长度，$ans$ 为所求答案。对于当前的数 $a_i$，如果 $a_{i-1}\leq a_i$（或 $a_{i-1}\geq a_i$），则令 $cnt$ 加一；否则，将 $cnt$ 与 $ans$ 比较，并更新 $cnt$、$prev$ 和 $ans$。

代码如下：

def solve_greedy():
    ans, cnt, prev = 1, 1, a[0]
    for i in range(1, n):
        if (a[i] >= prev and direction == 1) or (a[i] <= prev and direction == -1):
            cnt += 1
        else:
            ans += 1
            prev, cnt = a[i], 1
    return ans

总结

本文介绍了如何将一个数组拆分成最少数量的非递增（或非递减）子数组，涉及到动态规划和贪心算法两种解法。动态规划的时间复杂度为 $O(n^2)$，贪心算法的时间复杂度为 $O(n)$。实际应用中，贪心算法可以更好地解决大规模数据的问题。