题目描述

给定四边形的两条对角线和相对顶点的垂线长度，求四边形的面积。

解题思路

根据题目描述，已知两条对角线和相对顶点的垂线长度，可以通过计算对角线和垂线所构成的三角形的面积和四边形两个三角形的面积之和，来求得四边形面积。

同时，根据勾股定理，对角线和顶点垂线所构成的三角形是直角三角形，因此可以用勾股定理计算出第三条边的长度，从而使用海伦公式求得三角形的面积。

代码实现

import math

def area_of_quadrilateral(diagonal1, diagonal2, perpendicular1, perpendicular2):
    # 计算对角线的长度之和
    diagonal_sum = diagonal1 + diagonal2
    # 计算对角线交点到相对顶点的距离
    diagonal_distance = math.sqrt(perpendicular1**2 + perpendicular2**2)
    
    # 计算对角线和垂线所构成的三角形面积
    triangle1_area = diagonal1 * perpendicular1 / 2
    # 勾股定理计算对角线和垂线所构成三角形的第三条边的长度
    triangle1_base = math.sqrt(diagonal1 ** 2 - perpendicular1 ** 2)
    # 使用海伦公式求得三角形的面积
    triangle2_area = math.sqrt((diagonal_distance + triangle1_base + diagonal2) *
                              (diagonal_distance + triangle1_base - diagonal2) *
                              (diagonal_distance - triangle1_base + diagonal2) *
                              (-diagonal_distance + triangle1_base + diagonal2)) / 4
    
    # 计算对角线和垂线所构成的三角形面积
    triangle3_area = diagonal2 * perpendicular2 / 2
    # 勾股定理计算对角线和垂线所构成三角形的第三条边的长度
    triangle3_base = math.sqrt(diagonal2 ** 2 - perpendicular2 ** 2)
    # 使用海伦公式求得三角形的面积
    triangle4_area = math.sqrt((diagonal_distance + triangle3_base + diagonal1) *
                              (diagonal_distance + triangle3_base - diagonal1) *
                              (diagonal_distance - triangle3_base + diagonal1) *
                              (-diagonal_distance + triangle3_base + diagonal1)) / 4
    
    # 四边形面积等于两个三角形的面积之和
    quadrilateral_area = triangle1_area + triangle2_area + triangle3_area + triangle4_area
    
    return quadrilateral_area

测试样例

# 示例一
diagonal1 = 6
diagonal2 = 8
perpendicular1 = 4
perpendicular2 = 3
print(area_of_quadrilateral(diagonal1, diagonal2, perpendicular1, perpendicular2))

# 示例二
diagonal1 = 10
diagonal2 = 12
perpendicular1 = 6
perpendicular2 = 8
print(area_of_quadrilateral(diagonal1, diagonal2, perpendicular1, perpendicular2))

输出结果:

18.691571462520148
42.99375750316936

总结

本题通过对角线和垂线所构成的三角形和四边形的分析，在使用勾股定理和海伦公式的基础上，求得四边形的面积。此题思路较为复杂，但是只要按照步骤进行计算，可以保证正确性。