从 N 边多边形中找到与顶点 M 对角相对的顶点

介绍

在计算机图形学中，常常需要从一个多边形中找到与某一个顶点对角相对的顶点，这个过程在很多算法中都会用到。例如在三角剖分、寻找凸包等算法中，都需要用到找到对角线的操作。

算法

假设给出的多边形是一个凸多边形，可以通过如下的算法找到与顶点 M 对角相对的顶点：

1. 将顶点 M 相对的两条边分别标记为 e1 和 e2。
2. 对于多边形上的每一个顶点，计算它与 e1 和 e2 的夹角，并找到夹角最大的顶点。如果对于所有顶点的夹角都小于等于 180 度，则顶点 M 是凸多边形的一个凸角点，此时可以直接返回顶点 M 相邻的顶点即可（这是因为凸多边形中任意一条边的两个相邻顶点都是对角的）。
3. 如果夹角最大的顶点是顶点 N，那么 N 相对的边就是所要找的对角线。

代码实现如下：

def find_opposite_vertex(vertices, M):
    e1 = (M, (M + 1) % len(vertices))
    e2 = ((M - 1) % len(vertices), M)
    max_angle = -1
    opposite_vertex = None

    for i in range(len(vertices)):
        if i == M or i == e1[1] or i == e2[0]:
            continue

        angle1 = angle_between(e1, (M, i), vertices)
        angle2 = angle_between(e2, (M, i), vertices)
        angle = angle1 + angle2

        if angle > max_angle:
            max_angle = angle
            opposite_vertex = i

    if max_angle <= 180:
        return (M + 1) % len(vertices)

    return opposite_vertex

def angle_between(edge1, edge2, vertices):
    p1 = vertices[edge1[0]]
    p2 = vertices[edge1[1]]
    p3 = vertices[edge2[1]]

    v1 = (p2[0] - p1[0], p2[1] - p1[1])
    v2 = (p3[0] - p1[0], p3[1] - p1[1])

    dot_product = v1[0] * v2[0] + v1[1] * v2[1]
    angle = math.acos(dot_product / (length(v1) * length(v2)))

    return math.degrees(angle)

def length(v):
    return math.sqrt(v[0] ** 2 + v[1] ** 2)

总结

这个算法对于一般情况下的凸多边形都是有效的，时间复杂度为 O(N)，其中 N 是多边形的顶点数。在实际应用中，有时候需要考虑非凸多边形的情况，这时候可以将多边形进行三角剖分，再对每个三角形应用上面的算法即可。