按角度旋转 2D 矢量

在进行 2D 矢量的图形操作时，经常需要按照一定的角度进行旋转操作。本文将介绍如何在程序中实现按角度旋转 2D 矢量。

算法原理

在 2D 平面中，一个矢量的旋转可以用旋转矩阵来实现。假设要将一个矢量$(x,y)$按照角度$\theta$进行旋转，旋转后的矢量为$(x',y')$，则其旋转矩阵为：

$$\left[\begin{matrix}cos\theta & -sin\theta \ sin\theta & cos\theta\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x \ y\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}x' \ y'\end{matrix}\right]$$

其中，$cos\theta$表示角度$\theta$的余弦值，$sin\theta$表示角度$\theta$的正弦值。

程序实现

在程序中实现按角度旋转 2D 矢量，可以先定义一个旋转矩阵，并将矢量与其相乘，得到旋转后的矢量。

下面是使用 Python 代码实现按角度旋转 2D 矢量的函数rotate_vector：

import math

def rotate_vector(vec, angle):

    # 将角度转换为弧度
    rad = math.radians(angle)

    # 定义旋转矩阵
    rotate_matrix = (
        (math.cos(rad), -math.sin(rad)),
        (math.sin(rad), math.cos(rad)))

    # 计算旋转后的矢量
    x = vec[0] * rotate_matrix[0][0] + vec[1] * rotate_matrix[0][1]
    y = vec[0] * rotate_matrix[1][0] + vec[1] * rotate_matrix[1][1]
    return (x, y)

函数rotate_vector接受两个参数：vec表示需要旋转的矢量，angle表示旋转的角度。函数返回旋转后的矢量。

在函数中，首先将角度转换为弧度，然后定义旋转矩阵。最后，通过矩阵乘法得到旋转后的矢量。需要注意的是，矢量在 Python 中一般用元组或列表表示。

测试实例

下面给出一个测试实例，使用rotate_vector函数将矢量$(1,0)$按照角度$45^\circ$进行旋转：

# 测试实例
vec = (1,0)
angle = 45
new_vec = rotate_vector(vec, angle)
print(new_vec)

程序输出结果为：

(0.7071067811865476, 0.7071067811865475)

可以看出，将矢量$(1,0)$按照角度$45^\circ$旋转后，得到的新矢量为$(0.7071067811865476,0.7071067811865475)$，即坐标值都为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

结论

通过本文介绍的算法原理和程序实现，我们可以实现按角度旋转 2D 矢量的操作。在进行图形操作时，本文所述的方法可以帮助我们更方便地实现矢量旋转。