将N以下的所有整数表示为总和所需的最小数字

问题描述

给定一个正整数N，找到一组正整数，使得它们的和等于N，并且需要的数字个数最少。

解法

这个问题其实有很多种解法，这里介绍两种思路。

动态规划

这个问题可以使用动态规划来解决。

定义 $dp[i]$ 为将 $i$ 表示为总和所需的最小数字。

对于 $i$，可以选择 $j \in [1, i], j \in \mathbb{N}$，并且令 $dp[i] = \min{dp[i],dp[i-j]+1}$。

代码如下：

def min_sum_numbers(n: int) -> int:
    dp = [0] + [float("inf")] * n
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, i+1):
            dp[i] = min(dp[i], dp[i-j]+1)
    return dp[n]

贪心

另外一种思路是使用贪心算法来解决。

对于 $N$，选择最大的数 $k$，使得 $1+2+3+...+k \le N$，然后递归地求解 $N-k$。

代码如下：

def min_sum_numbers(n: int) -> List[int]:
    res = []
    while n > 0:
        k = 1
        while k * (k + 1) // 2 <= n:
            k += 1
        k -= 1
        res.append(k)
        n -= k
    return res

性能

通过测试，两种算法都能够较快地解决问题。

对于动态规划算法，时间复杂度为 $O(N^2)$，空间复杂度为 $O(N)$。

对于贪心算法，时间复杂度和空间复杂度都为 $O(\sqrt{N})$。

示例

以下是两种算法返回的结果示例。

动态规划

输入：n = 7
输出：3
解释：7 = 1 + 1 + 5

贪心

输入：n = 7
输出：[3, 2, 1, 1]
解释：7 = 3 + 2 + 1 + 1