将 N 以下的所有整数表示为总和所需的最小数字

这是一个经典的问题，也被称为硬币找零问题。假设有一些硬币，它们的面值为1元、5元、10元和50元，现在需要用最少的硬币数把总额为N元的零钱换成对应的硬币。

问题描述

现在我们考虑将 N 以下的所有整数表示为总和所需的最小数字。举个例子，当 N=11 时，我们可以将它表示为以下的数字之和：

$6+5$

即使用了2个数字。那么如何找到这个答案呢？

算法

有一个叫做 动态规划 的算法可以解决这个问题。动态规划是利用已经解决子问题的解来求解更大的问题的一种方法。

设 $dp_i$ 表示将数字 $i$ 表示为总和所需的最小数字。则有递推公式：

$dp_i = min(dp_{i-n})+1$

其中，$n$ 表示所有能够表示数字 $i$ 的数字集合，$+1$ 表示我们需要再加上当前的数字。

假设我们已经计算出了所有 $0$ 到 $i-1$ 的数字所需要的最小数字，那么我们可以通过 $dp_{i-n}$ 来计算 $dp_i$，最后将所有的 $dp$ 数组求和，即可得到将所有 $N$ 以下的整数表示为总和所需的最小数字。

我们可以使用一个数组 $coins$ 来存储所有能够表示数字 $i$ 的数字集合，那么每个数字的 $coins$ 数组应该是：

coins[1] = [1]
coins[2] = [1, 2]
coins[3] = [1, 3]
coins[4] = [1, 2, 4]
coins[5] = [1, 5]
coins[6] = [1, 2, 3, 6]
...

具体实现代码如下：

def min_sum_numbers(N):
    dp = [float('inf')] * (N + 1)
    dp[0] = 0
    coins = [[] for _ in range(N + 1)]
    for i in range(1, N + 1):
        for j in range(1, int(i ** 0.5) + 1):
            coins[i].append(j * j)
        for c in coins[i]:
            if i >= c:
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - c] + 1)
    return dp[N]

总结

本文介绍了如何将 N 以下的所有整数表示为总和所需的最小数字。我们使用了动态规划的方法，并给出了具体实现。