使用允许重复的数组元素求和为 N 的方法

当我们需要在一个数组中找到和为给定数值N的元素组合时，可以使用允许重复的数字来实现。这在一些题目中比禁止重复的解法更简单。

方法一：暴力求解

暴力求解是最简单的方法之一。它简单易懂，但效率较低。

代码示例：

def find_sum(arr, n):
    result = []
    for i in range(len(arr)):
        for j in range(i + 1, len(arr)):
            if arr[i] + arr[j] == n:
                result.append((arr[i], arr[j]))
    return result

复杂度：O(n^2)

方法二：哈希表

使用哈希表可以大大提高效率。

代码示例：

def find_sum(arr, n):
    result = []
    hash_set = set()
    for i in range(len(arr)):
        temp = n - arr[i]
        if temp in hash_set:
            result.append((temp, arr[i]))
        hash_set.add(arr[i])
    return result

复杂度：O(n)

方法三：递归搜索

使用递归搜索也可以实现。

代码示例：

def find_sum_helper(arr, cur_index, target, res, curr):
    if target == 0:
        res.append(list(curr))
        return
    if target < 0 or cur_index >= len(arr):
        return
    curr.append(arr[cur_index])
    find_sum_helper(arr, cur_index, target - arr[cur_index], res, curr)
    curr.pop()
    find_sum_helper(arr, cur_index + 1, target, res, curr)

def find_sum(arr, n):
    result = []
    curr = []
    find_sum_helper(arr, 0, n, result, curr)
    return result

复杂度：O(2^n)

结论

以上三种方法中，哈希表方法效率比较高，时间复杂度最低，是推荐的方法。如果数组长度较小，使用暴力求解是可行的；若数组长度较大，使用递归搜索要比暴力求解更加有效。