使用允许重复的最大自然数求和N的方法

给定两个整数N和K ，任务是找到将N表示为[1，K]范围内的正整数之和的方式总数，其中每个整数可以多次选择。

例子：

Input: N = 8, K = 2
Output: 5
Explanation: All possible ways of representing N as sum of positive integers less than or equal to K are:

1. {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, the sum is 8.
2. {2, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, the sum is 8.
3. {2, 2, 1, 1, 1, 1}, the sum is 8.
4. 2, 2, 2, 1, 1}, the sum is 8.
5. {2, 2, 2, 2}}, the sum is 8.

Therefore, the total number of ways is 5.

Input: N = 2, K = 2
Output: 2

天真的方法：解决给定问题的最简单方法是生成选择[1，K]范围内的整数的所有可能组合，并计算总和为N的那些组合。
时间复杂度： O(K ^N )
辅助空间： O(1)

高效方法：以上方法具有重叠子问题和最优子结构。因此，为了进行优化，需要基于以下观察来执行动态编程：

• 考虑到dp [i]将表示i的方式总数存储为[1，K]范围内的整数之和，则状态转换可以定义为：
  • 对于i在范围[1，K]和在范围内的每个f] [1，N]
  • DP [J]的值等于(DP [J] + DP [J – I])，对于所有j≥我。

请按照以下步骤解决问题：

• 初始化一个数组，例如dp [] ，所有元素都为0 ，以存储所有递归状态。
• 将dp [0]初始化为1 。
• 现在，使用变量i遍历[1，K]范围，并执行以下步骤：
  • 遍历范围[1，N]，使用变量j，并更新为DP [J] + DP [J – I] DP [j]的值，如果j≥我。
• 完成上述步骤后，打印dp [N]的值作为结果。

下面是上述方法的实现：

Python

# Python program for the above approach
  
# Function to find the total number of
# ways to represent N as the sum of
# integers over the range [1, K]
def NumberOfways(N, K):
    
    # Initialize a list
    dp = [0] * (N + 1)
      
    # Update dp[0] to 1
    dp[0] = 1
      
    # Iterate over the range [1, K + 1]
    for row in range(1, K + 1):
        
        # Iterate over the range [1, N + 1]
        for col in range(1, N + 1):
            
            # If col is greater
            # than or equal to row
            if (col >= row):
                
                # Update current
                # dp[col] state
                dp[col] = dp[col] + dp[col - row]
                  
                  
    # Return the total number of ways
    return(dp[N])
  
# Driver Code
  
N = 8
K = 2
  
print(NumberOfways(N, K))

输出：

5

时间复杂度： O(N * K)
辅助空间： O(N)