在只允许使用2位数字(4和7)的序列中查找第n个元素 | 集合2 (log(n)方法)

这是一个在只允许使用2位数字4和7的序列中查找第n个元素的算法。本算法采用二分搜索的思想，具有较好的时间复杂度(log(n))。

算法思路

由于只允许使用2位数字4和7，序列中符合要求的数的总量是有限的。我们可以通过观察序列，发现它是一个对称的序列，第 k 个元素的值等于对称位置上的 n-k+1 个元素的值。由此我们可以得出序列中间的位置一定是 7, 77, 444, 4477, 44444, 444477, ... 这样的位置。当我们找到中间位置后，就可以将原序列分成左右两个部分，继续递归查找。

算法实现

def find_num(n):
    """
    在只允许使用2位数字4和7的序列中查找第n个元素

    :param n: 查找第n个元素
    :return: 第n个元素的值
    """
    if n <= 0:
        return None

    l = 0
    r = 2
    count = 2
    while count < n:
        mid = (l + r) // 2
        count += 2 ** mid
        if count < n:
            l = mid
            r = mid + 1
        else:
            r = mid

    if n == 1:
        return 4
    if n == 2:
        return 7

    for i in range(r, -1, -1):
        if n > (count - 2 ** i):
            return 7 + find_num(n - (count - 2 ** i))
        else:
            count -= 2 ** i
            if n == count:
                return 7
            else:
                return 4 + find_num(n - count)

算法分析

本算法的时间复杂度为 O(log(n))，空间复杂度为 O(log(n))。算法效率取决于输入的值 n，当 n 很大时，效率将远远高于暴力搜索，因为本算法每次可以将搜索区间缩小一半，而不是一个一个遍历。