门 | Gate IT 2005 | 问题23

题目描述

给定一个由 $n$ 个门组成的系统。 每个门可以是打开的 1 或关闭的 0。 一扇大门同时为打开状态，当且仅当它的所有门都打开。

现在给出一个长度为 $n$ 的门状态序列，你的任务是找出在整个序列中连续的一段，使其覆盖的门数最多。 如果有多个答案，输出最短的一段。 你需要写一个函数来解决这个问题。

函数签名：

def max_open_section(gate: List[int]) -> Tuple[int, int]:
    pass

输入：

• $n$，门的数量 $(1 \leq n \leq 10^6)$。
• $gate_i$，门状态，$0$ 或 $1$。

输出：

• 门的数量最多所覆盖的连续区间的起始下标和终止下标。序号从 $0$ 开始计数。

样例

assert max_open_section([1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0]) == (3, 6)
assert max_open_section([0, 0, 0, 0, 0]) == (0, 0)
assert max_open_section([1, 1, 1, 1, 1]) == (0, 4)

解题思路

我们可以使用双指针的方法来尝试解决这个问题。我们先将左右指针 $i$ 和 $j$ 都初始化为 $0$，并设当前最多覆盖门数为0。然后将 $j$ 右移，每右移一次，尝试把新的门加入当前覆盖的门区域中。如果加入后区域包含了所有门，我们就可以尝试将左指针 $i$ 向右移动。如果移动后左指针不能再移动，我们就可以得到当前最多覆盖门数（当前 $j-i+1$），并用其更新之前保留的最大覆盖门数和所对应的区间。

实现中，我们可以用两个变量 $sum$ 和 $count$ 来维护当前区间内的门状态和门数量。在尝试将新门加入区间时，如果该门为 1，我们就将 $sum$ 加上 $1$，否则我们不做任何处理。如果 $sum$ 的值等于 $count$（即当前区间包含了所有门），我们可以尝试将左指针向右移动，并更新当前区间包含的门的状态和数量。如果新的门为 1，我们将 $sum$ 减去 $1$，否则我们不做任何处理。

复杂度分析

该算法的时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(1)$。

参考资料

• 算法竞赛入门经典（第2版）。

代码实现

from typing import List, Tuple


def max_open_section(gate: List[int]) -> Tuple[int, int]:
    n = len(gate)
    i, j = 0, 0
    count, max_count = 0, 0
    start, end = 0, 0
    while j < n:
        if gate[j] == 1:
            count += 1
        j += 1
        while count == j - i:
            if j - i > max_count:
                max_count = j - i
                start, end = i, j - 1
            if gate[i] == 1:
                count -= 1
            i += 1
    return start, end