门 | Gate IT 2005 | 问题15

这道题目涉及到了计算几何的知识，主要是要求求出两个线段是否相交。

题目描述

给定平面上两条线段$AB$和$CD$，请你判断它们是否相交（包括相交于端点处）。

输入格式：

第一行输入一个整数 $T$，表示数据组数。

接下来 $T$ 行，每行分别输入两个点 $A$，$B$ 的坐标以及 $C$，$D$ 的坐标，每个点用两个整数表示。

输出格式：

对于每组输入数据，在单独的一行中输出结果，无论是否相交均输出结果。

• 如果相交输出 $YES$，否则输出 $NO$。

解题思路

我们可以通过计算线段$AB$和$CD$的位置关系来判断它们是否相交。具体做法如下：

1. 首先判断$AB$和$CD$是否在一条直线上，如果是，则分别判断线段$AB$和$CD$的投影线段$A_1B_1$和$C_1D_1$是否相交即可。

2. 如果$AB$和$CD$不在一条直线上，则分别求出它们所在直线的解析式：$y_1 = k_1x_1 + b_1$ 和 $y_2 = k_2x_2 + b_2$，其中 $k_1 = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$，$k_2 = \dfrac{y_D - y_C}{x_D - x_C}$，$b_1 = y_A - k_1x_A$，$b_2 = y_C - k_2x_C$。

3. 判断两条直线是否平行。如果平行，则它们不可能相交，输出 $NO$。

4. 如果两条直线不平行，则求出它们的交点坐标$(x,y)$，有 $x = \dfrac{b_2 - b_1}{k_1 - k_2}$，$y = k_1x + b_1$ 或 $y = k_2x + b_2$。

5. 如果交点 $(x,y)$ 同时在线段$AB$和$CD$上，则线段$AB$和$CD$相交，输出 $YES$，否则输出 $NO$。

需要注意的是，如果两条直线平行，我们需要特殊处理。

代码实现

def is_intersected(x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4):
    # 判断 AB 和 CD 是否在一条直线上
    if (y2 - y1) * (x4 - x3) == (y4 - y3) * (x2 - x1) and \
       (y2 - y1) * (x3 - x1) == (y3 - y1) * (x2 - x1):
        # 判断投影线段是否相交
        if max(x1, x2) >= min(x3, x4) and max(x3, x4) >= min(x1, x2) and \
           max(y1, y2) >= min(y3, y4) and max(y3, y4) >= min(y1, y2):
            return 'YES'
        else:
            return 'NO'
    else:
        # 计算两条直线的解析式
        if x2 - x1 != 0:
            k1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)
            b1 = y1 - k1 * x1
        else:
            k1 = float('inf')
            b1 = x1
        if x4 - x3 != 0:
            k2 = (y4 - y3) / (x4 - x3)
            b2 = y3 - k2 * x3
        else:
            k2 = float('inf')
            b2 = x3

        # 判断两条直线是否平行
        if k1 == k2:
            return 'NO'
        else:
            # 求出交点坐标
            x = (b2 - b1) / (k1 - k2)
            y = k1 * x + b1
            # 判断交点是否在线段上
            if x >= min(x1, x2) and x <= max(x1, x2) and \
               x >= min(x3, x4) and x <= max(x3, x4) and \
               y >= min(y1, y2) and y <= max(y1, y2) and \
               y >= min(y3, y4) and y <= max(y3, y4):
                return 'YES'
            else:
                return 'NO'

总结

这道题目虽然不难，但需要考虑的细节较多，包括特殊情况的处理。在实际工作中，我们经常需要处理两条线段是否相交的问题，因此有必要掌握这种计算几何的基础知识。