使用最多 1 次交换的最大固定点数

在计算机科学中，给定一个排列，一个固定点是一个索引 i ，对于所有 i = P[i]。这是说元素 P[i] 在排列中被固定在了位置 i 上。交换是指交换两个元素的位置。现在，给定一个排列，最多使用 1 次交换，返回可以得到的最大固定点数。

例如，给定排列 P = [3, 2, 0, 1]，我们可以交换 P[0] 和 P[1]，得到排列 P = [2, 3, 0, 1]，有 2 个固定点：P[2] = 2 和 P[3] = 1。

解决方案

解决此问题的一种方法是通过枚举交换的位置来测试每种排列，并查找最大固定点数。然而，这种方法的时间复杂度非常高，为 $O(n^2)$。

另一种更高效的方法是使用数学和计数原理。我们可以将排列分为三个部分：已知的固定点、可能被固定的点和不可能被固定的点。

已知的固定点是指 i = P[i] 的索引，它们肯定被固定。而不可能被固定的点是指 i 和 P[i] 所在的两个位置都被占用的索引。这些点不可能被固定，因为它们要么被占用，要么形成一个循环。

剩下的点是可能被固定的点。我们可以枚举这些点，假设我们交换了这个点 i 和另一个点 j，然后计算固定点的数量。这个新的固定点数可以通过以下公式计算：

fixed = old_fixed

if i == P[j]:
    fixed += 2
else if i == j or P[i] == j:
    fixed += 1

其中 old_fixed 是交换前的固定点数。如果交换后 i 和 j 的值相等，则固定点数增加 2，因为这个时候 i 和 j 肯定都被固定了。如果 i 和 j 的位置互换，或者它们在源排列中是互换的，则固定点数增加 1。

通过枚举所有可能被固定的点并尝试交换，我们可以找到产生最大固定点的交换。那么最大固定点的数量就是 old_fixed + 1，因为我们只允许进行一次交换。

代码示例

下面是用 Python 编写的代码示例：

def max_fixed_points(lst):
    n = len(lst)
    fixed = sum(i == lst[i] for i in range(n))  # 统计已知固定点

    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            if i == lst[j] or j == lst[i]:  # 跳过不可能被固定的点
                continue
            new_fixed = fixed  # 计算交换后的固定点
            if i == lst[j]:
                new_fixed += 2
            elif i == j or lst[i] == j:
                new_fixed += 1
            fixed = max(fixed, new_fixed)  # 更新最大固定点数

    return fixed + (fixed == n)  # 如果原排列是一个固定点排列，则最大固定点数加 1

总结

这篇文章介绍了如何寻找可以使用最多 1 次交换的最大固定点数。我们可以将排列分为已知的固定点、可能被固定的点和不可能被固定的点，并通过枚举所有可能的交换来计算固定点的数量。与枚举所有排列的方法相比，这种方法具有更好的时间复杂度，为 $O(n^2)$。