在元素上交替放置加减号后最大化子序列和

给定一个整数序列，您可以在其中的元素之间放置加号或减号，以便在每个位置上其余元素的和为正数或负数。您的任务是找到可以获得的最大子序列和。

例如，对于序列 [2, -4, 6, -3, 9]，交替放置加号和减号，可以获得最大的子序列和为 14 (2-4+6-3+9)。

解法

这个问题可以通过动态规划来解决。我们可以通过维护两个值来解决这个问题：

• 当前位置在子序列上是加号的最大子序列和
• 当前位置在子序列上是减号的最大子序列和

这两个值可以基于之前位置的值和当前位置的值来计算。具体来说，我们可以使用以下递归式来计算它们：

f[i][0] = max(f[j][1] + nums[i] for j in range(i))
f[i][1] = max(f[j][0] - nums[i] for j in range(i))

其中 f[i][0] 表示以第 i 个元素结尾的子序列中，最后一个位置在子序列上是加号的最大子序列和。f[i][1] 表示以第 i 个元素结尾的子序列中，最后一个位置在子序列上是减号的最大子序列和。nums 表示原始的整数序列。

实现的细节见下方代码。

代码实现

def maxAlternatingSum(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    f = [[0, 0] for _ in range(n)]

    f[0][0] = nums[0]
    f[0][1] = 0

    for i in range(1, n):
        f[i][0] = max(f[j][1] + nums[i] for j in range(i))
        f[i][1] = max(f[j][0] - nums[i] for j in range(i))

    return max(f[n-1])

复杂度分析

这个算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 是整数序列中的元素数目。

我们可以看到，最内层的循环需要遍历 $0$ 到 $i-1$ 的所有位置。因此，总的循环次数为：

$$ \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} $$

因此，时间复杂度为 $O(n^2)$。

空间复杂度为 $O(n)$，因为我们需要用一个二维数组来存储所有的状态。