具有最大和的最长子数组

介绍

对于给定的整数数组，我们需要找到具有最大和的最长子数组。

例如，给定一个数组 [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，最长的具有最大和的子数组为 [4,-1,2,1]，其和为 6。

解决方案

暴力枚举法

我们可以暴力枚举所有子数组，计算它们的和并找到具有最大和的子数组。

def maxSubArray(nums):
    """
    :type nums: List[int]
    :rtype: int
    """
    n = len(nums)
    ans = nums[0]
    for i in range(n):
        cur_sum = 0
        for j in range(i, n):
            cur_sum += nums[j]
            ans = max(ans, cur_sum)
    return ans

这种方法的时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为 O(1)。

动态规划法

我们可以使用动态规划来优化算法的时间复杂度。

定义状态 dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最大子数组和。

则状态转移方程为：dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i], nums[i])。

def maxSubArray(nums):
    """
    :type nums: List[int]
    :rtype: int
    """
    n = len(nums)
    dp = [0] * n
    dp[0] = nums[0]
    ans = nums[0]
    for i in range(1, n):
        dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i], nums[i])
        ans = max(ans, dp[i])
    return ans

这种方法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(n)。

分治法

我们可以使用分治法来进一步优化算法的时间复杂度。

将数组分成左右两部分，在这两部分中找到具有最大和的子数组，然后跨越中点的子数组的和即为左右两部分的子数组的和之和。

def maxSubArray(nums):
    """
    :type nums: List[int]
    :rtype: int
    """
    def cross_sum(nums, left, right, mid):
        """
        计算跨越中点的子数组的和
        """
        if left == right:
            return nums[left]
        left_sub_sum = float('-inf')
        cur_sum = 0
        for i in range(mid, left-1, -1):
            cur_sum += nums[i]
            left_sub_sum = max(left_sub_sum, cur_sum)
        right_sub_sum = float('-inf')
        cur_sum = 0
        for i in range(mid+1, right+1):
            cur_sum += nums[i]
            right_sub_sum = max(right_sub_sum, cur_sum)
        return left_sub_sum + right_sub_sum
    
    def helper(nums, left, right):
        """
        递归函数
        """
        if left == right:
            return nums[left]
        mid = (left + right) // 2
        left_sum = helper(nums, left, mid)
        right_sum = helper(nums, mid+1, right)
        cross_sum_val = cross_sum(nums, left, right, mid)
        return max(left_sum, right_sum, cross_sum_val)
    
    return helper(nums, 0, len(nums)-1)

这种方法的时间复杂度为 O(nlogn)，空间复杂度为 O(logn)。

总结

在解决这个问题时，我们介绍了三种不同的算法，它们分别是暴力枚举法、动态规划法和分治法。

其中，暴力枚举法时间复杂度最高，但代码实现简单；动态规划法时间复杂度低且空间复杂度低，是一种非常优秀的算法；分治法虽然时间复杂度比动态规划法高，但它在某些情况下表现更优，例如当需要求取最大子串时。