为树的所有边缘着色所需的最短时间

介绍

给定一棵树，现在需要在所有边缘上着色，每次着色需要耗费时间 $t_i$，求所有边缘着色所需要的最短时间。

解法

思路：

该问题可以使用贪心算法解决。

我们可以从叶节点开始，一步步向上着色，并记录每个节点先被着色的时间。如果某个节点的所有子节点均已被着色，则该节点可以被着色。

因为一条边被染色时，需要考虑两个端点，所以不能从根节点开始递归。因此，要先找出所有的叶节点，从叶节点开始递归，直到根节点。

具体步骤如下：

1. 找出所有的叶节点。
2. 对于每个叶节点，如果其父节点还未被着色，则计算此时着色所需要的最小时间 $t_i$，并记录父节点先被着色的时间 $t_{parent}$。
3. 在所有父节点的 $t_{parent}$ 中，取最大的值作为该子树着色所需要的时间，将该节点的父节点标记为已着色，跳转至父节点。
4. 重复步骤 2 和 3，直到根节点被着色。

时间复杂度为 $O(N \log N)$，其中 $N$ 表示树中节点的个数。

另外需要注意的是，如果父节点的所有子节点均未被着色，则该节点不能被着色，需要先等待其子节点被着色后再进行计算。

示例

以下是 Python 语言的示例代码：

def get_coloring_time(edges, n, t):
    # 叶节点
    leaves = set(i for i in range(1, n + 1)) - set(i for edge in edges for i in edge)

    # 记录每个节点先被着色的时间
    color_times = [0] * (n + 1)

    # 从叶节点开始递归，逐步向上着色
    for leaf in leaves:
        parent = edges[leaf - 1][0]

        # 如果父节点已经着色，则跳过
        if color_times[parent] > 0:
            continue

        # 等待所有子节点被着色
        children = [edge[1] for edge in edges if edge[0] == leaf]
        while any(color_times[child] == 0 for child in children):
            pass

        # 计算最小着色时间，并记录父节点的着色时间
        min_time = min(color_times[child] for child in children)
        color_times[parent] = min_time + t

    # 返回根节点的着色时间
    return color_times[1]

通过调用该函数，可以得到整棵树的边缘着色所需的最短时间。